Разыскания истины
Шрифт:
Прежде всего, как было уже сказано, надо провести две линии АВ и АС (рис. 4), чтобы обозначить оба простых движения, и разделить эти линии, согласно предположенному ускорению этих движений. Если мы предположили, что движение, обозначенное линией АС, ускоряется или замедляется в арифметической прогрессии 1, 2, 3, 4, 5, тогда на этой линии надо отметить деления в указанных точках 1, 2, 3, 4, 5. Если мы предположили, что движение, обозначаемое линией АВ, увеличивается в двойной прогрессии 1, 2, 4, 8, 16 или уменьшается в прогрессии половинной 4, 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8, нужно отметить на этой линии деления 1, 2, 4, 8, 16 или 4, 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8. Затем из этих делений следует провести параллельные к
479
Захотим ли мы узнать с точностью, сколько времени прошло от начала движения данного тела до того момента, когда оно дошло до известной точки, нам укажут это параллельные, проведенные из этой точки к АВ и АС, ибо деления на АВ и АС указывают время. Хотим ли мы узнать точку, где это тело будет находиться в такое-то время, искомую точку нам укажут своим пересечением параллельные, проведенные из делений на линиях АВ и AC, — делений, обозначающих время. Как велико расстояние от точки, от которой тело начало свое движение, легко узнать, если провести линию от этой точки к А, ибо длину этой линии можно узнать по отношению к АВ или АС, которые нам известны. Однако нелегко узнать длину пути, пройденного телом до этой точки, потому что линия его движения АЕ кривая, а следовательно, ее нельзя сравнить ни с одной из этих прямых линий.
Если бы мы захотели определить бесчисленное множество точек, через которые должно пройти данное тело, т. е. описать точно непрерывным движением линию АЕ, мы должны были бы сделать такой циркуль, движение ножек которого отвечало бы требованиям, поставленным в приведенных выше положениях. Придумать такой циркуль очень трудно, выполнить невозможно, но оно и довольно бесполезно для того, чтобы найти отношения вещей между собою, ибо обыкновенно нам не нужны все те точки, из которых состоит эта линия, а лишь некоторые из них, помогающие руководить воображением, когда оно рассматривает подобные движения.
Этих примеров достаточно, чтобы показать, как можно обозначать линиями большинство наших идей, а следовательно, представить их воображению, и как геометрия, научая делать все необходимые сравнения, чтобы узнать отношения линий, имеет гораздо большее применение, чем это обыкновенно думают. Ибо астрономия, музыка, механика и вообще все науки, трактующие о вещах, которые могут увеличиваться и уменьшаться, а следовательно, которые можно рассматривать как протяжения, т. е. все точные науки, могут быть сведены к геометрии; ибо все умозрительные истины заключаются лишь в отношениях, существующих между этими отношениями, а потому все они могут быть сведены к линиям. Из них же геометрически можно вывести некоторые следствия, а так как эти следствия будут сделаны наглядными на линиях, представляющих их, то почти невозможно ошибиться и можно легко двигать науки вперед.
Так, например, в музыке мы ясно различаем и точно обозначаем октаву, квинту, кварту, потому что мы выражаем звуки точно разделенными струнами; мы знаем, что струна, дающая октаву, находится в двойной пропорции к той струне, с которой она образует октаву, дающая квинту — в пропорции полуторной или пропорции трех к двум и т. д. Ибо ухо одно не может судить о звуках с тою точностью и правильностью, какие необходимы в науке. У опытных музыкантов-практиков слух очень чуток и тонок, однако он не настолько чувствителен, чтобы подметить различие между известными звуками, и
480
подобные музыканты ложно убеждают себя, что этого различия не существует, ибо они судят о вещах лишь по ощущению, получаемому от них. Например, некоторые не делают никакого различия между октавою и тремя двузвучиями;' некоторые даже воображают, что нет разницы между мажорным и минорным тоном, следовательно, комма, выражающая это различие, не ощутительна для них, а тем более
Итак, только один рассудок показывает нам с очевидностью; что по длине своей струна делится на многие части и от этого зависит различие между известными звуками, а потому возможно множество звуков, которые ухо не различает и которые будут полезны или бесполезны для музыки. Отсюда ясно, что без арифметики и геометрии правильная и точная музыка была бы нам неизвестна, и мы преуспевали бы в этой науке исключительно благодаря случайности и воображению, т. е. музыка не была бы больше наукою, основанною на неоспоримых доказательствах; хотя арии, сочиняемые с помощью воображения, красивее и приятнее для чувств, чем арии, сочиняемые по правилам.
Так точно и в механике. Вес некоторых тяжестей и расстояние от их центра тяжести до точки опоры могут увеличиваться и уменьшаться, а потому и вес, и это расстояние могут обозначаться линиями. И геометрию применяют с пользою при открытии и доказательстве множества новых изобретений, очень полезных в жизни и даже весьма приятных разуму по причине своей очевидности.
Например, нам дана тяжесть в шесть фунтов весом и мы хотим уравновесить ее тяжестью весом только в три фунта. Если эта тяжесть в шесть фунтов висит на коромысле весов на расстоянии, положим, двух футов от опоры, то, зная общее положение всякой механики:
для равновесия тяжестей отношение тяжестей к расстояниям их от точки опоры должно быть обратно пропорционально, т. е. первая тяжесть должна относиться ко второй, как расстояние между второю тяжестью и точкою опоры относится к расстоянию между первою тяжестью и точкою опоры, — мы легко можем найти посредством геометрии, на каком расстоянии должна находиться тяжесть в три фунта, чтобы было соблюдено равновесие. Для этого мы берем, согласно двенадцатой теореме шестой книги Евклида, четвертую пропорциональную, длина которой будет четыре фута. Итак, зная только основной принцип механики, можно открыть с очевидностью все истины, зависящие от него, прилагая к механике геометрию, т. е. обозначая наглядно линиями все вещи, рассматриваемые в механике.
Следовательно, геометрические линии и фигуры весьма пригодны, чтобы представить воображению отношения, существующие между величинами или вещами, различающимися по степени, каковы:
пространство, время, вес и т. д.; во-первых, потому, что они весьма просты, во-вторых, потому, что мы их воображаем с большою
I Большая терция.
481
легкостью. В пользу геометрии можно даже сказать, что линии могут представить воображению больше вещей, чем может познать разум, потому что линии могут представить отношения несоизмеримых величин между собою, т. е. величин, отношений которых нельзя узнать по той причине, что нет такой меры, посредством которой можно было бы сравнить их. При разысканиях истины это преимущество, впрочем, не особенно важно: эти наглядные обозначения несоизмеримых величин не раскрывают разуму отчетливо их действительной величины.
Итак, геометрия весьма полезна, чтобы сделать разум внимательным к вещам, отношения которых мы ищем; но должно признать, что иногда она бывает для нас поводом к заблуждению: мы так увлекаемся очевидными и приятными доказательствами этой науки, что недостаточно наблюдаем природу. Вот главная причина, почему не все изобретенные машины бывают удачны; почему не всегда музыкальные композиции, в которых строго соблюдена соразмерность созвучий, бывают приятны; почему самые точные астрономические вычисления не предсказывают хорошо продолжительности и времени затмений. Природа не абстрактна; рычаги и колеса механические не математические линии и круги; вкусы людские в музыкальных ариях не всегда одинаковы у всех людей и даже у одних и тех же людей в различное время; они меняются сообразно эмоциям жизненных духов, и ничего нет причудливее наших вкусов. Что касается, наконец, астрономии, то в движении планет нет полной правильности; носясь в громадных пространствах, они неравномерно увлекаются жидкою материей, окружающей их. Итак, заблуждения, в которые мы впадаем в астрономии, механике и музыке и во всех науках, где применяется геометрия, происходят не от геометрии, науки неоспоримой, а от ложного применения ее.