Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ваховский Евгений Борисович

где y = log_k x. Последнее неравенство можно переписать так:

Выражение, стоящее в числителе, всегда положительно. Поэтому решением неравенства будут два интервала:

y < -1, y > 0.

Вспоминая, что y = log_k x

и 0 < k < 1, найдем соответствующие интервалы для x.

Ответ. 0 < x < 1, x > ¹/_k.

10.40. Поскольку 4^x– 6 должно быть больше нуля, то x > 1. Следовательно, приходим к системе неравенств

Решая второе неравенство системы, найдем x > log₂ 7.

Третье неравенство перепишем в виде системы

решением которой будет интервал log₂ 6 < x <= log₂3. Так как log₂ 7 > log₂ 6, то получим решение данного неравенства.

Ответ. log₂ 7 < x <= log₂ 3.

10.41. Данное неравенство эквивалентно такому:

Знаменатель всегда положителен. Поэтому

|х^2 - 4x| + 3 >= x^2 + |x– 5|,

остается раскрыть знаки абсолютной величины. Нанесем точки 0, 4, 5 на числовую ось и рассмотрим четыре случая.

Если x < 0, то получаем систему

которой удовлетворяет полупрямая x <= - 2/3 .

Если 0 <= x <= 4, приходим к системе

решением которой будет отрезок 1 < x < 2.

Если 4 < x <= 5, то наше неравенство примет вид x^2 - 4x + 3 >= x^2 + 5 - x, откуда x <= - 2/3 . Это не удовлетворяет условию 4 < x <= 5, а потому в данном случае решений нет.

Остается случай x > 5. Раскрывая знаки абсолютных величин, получим x <= ⁸/₅. Здесь снова нет решений.

Ответ. x < - 2/3 ; 1/2 <= x <= 2.

10.42. Из условия следует, что x > 2. Поэтому x^3 - 7 > 0, а также x– 1 > 1 и (x - 1)^2 > 1. Данное неравенство равносильно такому:

Так как x– 1 > 0, то

 Поскольку x^3 - ⁷/₂ > 0,

то ограничение x > 2 достаточно для того, чтобы следующие преобразования приводили к равносильным неравенствам:

После упрощений последнее неравенство сведется к квадратному: -4x^2 + 5x + ³/₂ >= 0, имеющему решения - 1/4 < x < ³/₂. Так как, кроме того, x > 2, то исходное неравенство не имеет решений.

Ответ. Решений нет.

10.43. Так как первый сомножитель положителен, то, чтобы неравенство удовлетворялось, необходимо

log₂ (2 - 2x^2) > 0, т. е. 2 - 2x^2 > 1, 2|x| < 1,

откуда

0 <= 2|x| < 1 и -1 <= 2|x| - 1 < 0.

Следовательно, |2|x| - 1| <= 1. Таким образом, первоначальное неравенство может удовлетворяться только, если

log₂ (2 - 2x^2) >= 1, или 2 - 2x^2 >= 2, -x^2 >= 0,

т. е. x = 0. Проверкой убеждаемся, что x = 0 является решением неравенства.

Ответ. x = 0.

10.44. Так как

, то перепишем неравенство следующим образом:

Обозначив log₃ ^{x + 1}/_{x– 1} = y, получим log₂ y < 0, откуда

0 < y < 1, т. е. 0 < log₃ ^{x + 1}/_{x– 1} < 1, 

а потому 1 < ^{x + 1}/_{x– 1} < 3.

Последнее неравенство можно записать так:

(^{x + 1}/_{x– 1}– 1)(^{x + 1}/_{x– 1} - 3) < 0

(если некоторое выражение заключено между двумя числами, то разности между ним и каждым из этих чисел имеют разные знаки).

После выполнения действий в скобках и небольших упрощений получим

^{x– 2}/_{(x– 1)^2} > 0,

откуда x > 2.

Ответ. x > 2.

10.45. Если 0 < x^2 - 1 < 1, то придем к системе

Так как последнее неравенство следует из первого, то получаем такую систему:

откуда 1 < x < 2.