Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ваховский Евгений Борисович

Если x^2 - 1 > 1, т. е. x^2 > 2, то приходим ко второй системе:

откуда x > ^{3 + 5}/₂.

Ответ. 1 < x < 2, x > ^{3 + 5}/₂.

10.46. Перепишем неравенство в виде

Равносильность при этом не нарушается, так как оба выражения в квадратных скобках (полученное и данное в условии) существуют одновременно при x > 0.

Выясним, когда основание положительно и когда оно отрицательно (если оно равно нулю, то неравенство не удовлетворяется). Для этого воспользуемся условным символом V, обозначающим сравнение левой и правой частей, и не будем нарушать равносильность при преобразованиях:

Преобразуем первое соотношение, имея в виду, что x– положительное число:

Итак, при 

 основание положительно, а при

 оно отрицательно. Из отрицательных значений основания мы должны рассмотреть лишь те, при которых x– 4, а следовательно и x, — четное число. Среди чисел, заключенных в интервале

, есть только одно четное: x = 2. Подставим это число в левую часть исходного неравенства:

Таким образом, x = 2 не удовлетворяет данному неравенству.

Пусть теперь основание положительно, т. е.

. Тогда неравенство (1) равносильно такому:

т. е.

(пояснения приведены во втором указании на с. 192). В последнем неравенстве основание степени положительно, так как x > 0. Следовательно, его можно преобразовать к виду

т. е.

Мы рассматриваем случай

. Решив неравенства

получим, что выражение

 больше нуля, когда x > 6, равно нулю, когда x = 6, и меньше нуля, когда

 Таким образом, вместо неравенства (2) можно записать

(x– 6)(x– 4) >= 0,

т. е.

Ответ.

10.47. Данное неравенство может выполняться только в том случае, если дискриминант стоящего в левой части квадратного трехчлена относительно x положителен, т. е.

Решением этого неравенства будут

log_0,5 y^2 < -3, log_0,5 y^2 > 1.

В

первом случае получим y^2 > 8, во втором 0 < y^2 < 1/2 .

Ответ. y < -8, -¹/₂ < y < 0, 0 < y < ¹/₂, y > 8.

10.48. Для ответа на вопрос задачи нужно найти такие значения а, что множество решений второго неравенства не уже множества решений первого. Таким образом, если y первого неравенства есть решения, они все должны попасть в интервал (-3, -1).

Корнями квадратного трехчлена

х^2 - а(1 + а^2)x + а⁴

будут числа а и а^3. Когда они совпадают (а = ±1, а = 0), ветви параболы направлены вверх и квадратный трехчлен не может стать отрицательным.

Докажем, что следствием неравенства, не имеющего решений, является любое неравенство. В частности, любое решение первого неравенства при а = 0, ±1 содержится среди решений второго. Предположим, что это не так. Тогда существует решение первого неравенства, не удовлетворяющее второму. Мы приходим к противоречию с тем фактом, что первое неравенство в рассматриваемых случаях вообще не имеет решений.

Если же корни различны (а /= а^3), то оба они должны попасть в интервал [-3, -1]

т. е.

Ответ.

10.49. Сначала решим строгое неравенство

Оно равносильно системе

При а <= 1 решений y этой системы нет. При а > 1 ее решениями будут значения x, для которых 1 < x < а.

Остается выяснить, какие значения x удовлетворяют уравнению

(4)

Это уравнение равносильно совокупности двух систем:

Поскольку в первой системе x = 1, то x /= 2; остается обеспечить, чтобы а– 1 >= 0, т. е. а >= 1.

Итак, при каждом а >= 1 есть решение x = 1, а при каждом x /= 2 есть решение x = а. (При а = 1 эти решения совпадают.)

Решение второй системы при а /= 2: x = а. Остается объединить решения неравенства (3) и уравнения (4).

Ответ. При а <= 1 имеем x = а; при 1 < а < 2 имеем 1 <= x <= а; при а = 2 имеем 1 <= x < 2; при а > 2 имеем 1 <= x <= 2, x = а.