Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ваховский Евгений Борисович

10.50. Поскольку

х^2 + 8х + 15 = (x + 3)(x + 5), а x^2 + 7х + 10 = (x + 2) (x + 5),

то данное неравенство можно записать в виде

(x + 5)[(x + 3) · 2^{2 + x}– (2 + x)] > 0. (5)

При x + 5 = 0 исходное неравенство не удовлетворяется. Поэтому (5) равносильно совокупности двух систем:

Далее

придется рассмотреть случаи x + 3 < 0 и x + 3 > 0 (при x + 3 = 0 неравенство (3) удовлетворяется!). Располагая точки x = -5 и x = -3 на числовой оси, мы получим три интервала x <– 5; -5 < x < -3; x > -3. Соответственно, приходим к совокупности трех систем неравенств:

Построим графики функций

y₁ = 2^{2 + x}, y₂ = 1 - ¹/_{x + 3}

(рис. P.10.50).

Просто сослаться на график и указать интервалы решений нельзя. График подскажет, какие сравнения нужно привести для решения неравенства.

При всех x <– 5 получим, что y₂ > 1, а y₁ < 1, т. е. y₁ < y₂: второму неравенству первой системы значения x < -5 не удовлетворяют.

При -5 < x < -3 также y₁ < 1, а y₂ > 1 и снова y₁ < y₂. Однако на этот раз второе неравенство второй системы удовлетворяется.

При x > -3 второе неравенство третьей системы вновь удовлетворяется. В самом деле, при -3 < x < -2, y₁ > 0, а y₂ < 0, т. е. y₁ > y₂. Далее при x >= -2 имеем у₁ >= 1, 0 < y₂ < 1, т. е. снова у₁ > y₂. Остается вспомнить, что x = -3 было решением (5).

Ответ. x (-5; +).

10.51. Ясно, что подставлять интересующие нас значения x в данное неравенство и проверять, удовлетворяется ли это, не нужно. Проще это неравенство решить. Так как lg 5 /= 1/2 , то |0,5 - lg 5| > 0, т. е.

Любое число а ^ 0 можно записать в виде а = |а| sign а,

где

< image l:href="#"/>

— функция, соответствующая знаку числа а. Поэтому из (6) получаем

Определим теперь знак выражения

0,5 - lg 5 = lg 10 - lg 5 = lg ¹⁰/₅ < lg ⁴/₅ < lg 1 = 0.

Следовательно, sign (0,5 - lg 5) = -1, т. е. решением неравенства (6) будут значения x <= -1.

Ответ.– 4, -1.

10.52. Так как (5 + 2)(5 - 2) = 1, то данное неравенство можно преобразовать к виду

(7)

Знаменатель всегда положителен, если x >= 0. Требование x >= 0 сохраняется, если существует числитель. Поэтому (7) равносильно неравенству

(5 - 2) ^{x + x– 6} <= 1. (8)

Поскольку 0 < 5 - 2 < 1, то (8) равносильно неравенству

x + x– 6 >= 0. (9)

Трехчлен y^2 + y– 6 (где y = x) имеет корни -3 и 2. Поэтому решением неравенства

y^2 + y– 6 >= 0

будет совокупность значений y <= -3, y >= 2. У неравенства x <= -3 решений нет. Остается x >= 2, т. е. x >= 4.

Ответ. [4, +).

10.53. Обозначим log₂x = y и запишем неравенство в виде

1 + y^2 <= |y| (4x– x^2 - 2),

или

1 + y^2 <= |y| [-(x^2 - 4x + 4) + 2],

т. е.

1 - 2|y| + |y^2| <= |y|(-x^2 + 4x– 4).

Итак,

(1 - |y|)^2 <= -|y|(x– 2)^2.

Неравенство удовлетворяется только в том случае, если обе его части равны нулю. Это может быть только при |y| = 1, тогда (x– 2)^2 <= 0, т. е. x = 2.

Ответ. 2.

Глава 11

Логарифмические и показательные уравнения и системы

11.1.

11.2. Так как 1225 = 35^2, то

lg 122,5 = lg 35^2 - lg 10 = 2(lg 5 + lg 7) - 1 = 2(а + b) - 1.

11.3. Перепишем уравнение в виде

т. е. после того как вынесем 3^{2x– 1} и 2^{x + 1/2}  за скобки,