Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ваховский Евгений Борисович

Из последнего уравнения следует, что

3^{2x– 3} = (2)^{2x– 3},

т. е. (³/₂)^2x - 3 = 1, откуда 2x - 3 = 0.

Ответ. x = ³/₂.

11.4. Обозначив 3^{– |x– 2|} = y, придем к квадратному уравнению

y^2 - 4y– а = 0,

корни

которого

Первый корень

 приходится отбросить, так как -|x– 2| <= 0 и 3^{– |x– 2|} <= 1, а

 не может стать меньше двух.

Исследуем второй корень:

Чтобы это уравнение имело решение, необходимо выполнение трех условий, которые сведены в систему неравенств:

Решая эту систему, найдем -3 <= а < 0.

Ответ. При -3 <= а < 0 два решения:

при остальных а решений нет.

11.5. Решая квадратное уравнение относительно 12^|x|, найдем

Первое ограничение: 1 - а >= 0, т. е. а <= 1. Кроме того, 12^|x| не может стать меньше единицы. Если перед корнем выбран знак плюс, то последнее требование выполняется, если же взят знак минус, то

лишь при а = 1. Это значение а можно учесть при рассмотрении уравнения

Ответ.

 при а <= 1; при остальных а решений нет.

11.6. Уравнение можно записать так:

или

Прологарифмируем по основанию 10

откуда x₁ = 2, x₂ = -¹/_{lg 5}.

Ответ. 2, -¹/_{lg 5}.

11.7. Так как (2 + 3)(2 - 3) = 1, то 2 + 3 и 2 - 3 — взаимно обратные числа. Обозначим

(2 + 3)^{x^2 - 2x} = y.

Тогда данное уравнение можно записать так:

y + ¹/_y = ¹⁰¹/₁₀

(мы

разделили обе части уравнения на 2 + 3).

Решая это уравнение, найдем

y₁ = ¹/₁₀, y₂ = 10.

Покажем, что первый корень, который приводит к уравнению

(2 + 3)^{x^2 - 2x} = ¹/₁₀,

посторонний.

Так как 2 + 3 > 1, то x^2 - 2x < 0. Выражение x^2 - 2x достигает своего минимума в точке x = 1. Этот минимум равен -1. Поскольку 2+ 3 < 4, то в левой части последнего уравнения стоит число, большее 1/4 , а следовательно, ни при каких x не равное ¹/₁₀.

Остается решить уравнение

(2 + 3)^{x^2 - 2x} = 10.

Прологарифмируем его по основанию 2 + 3:

x^2 - 2x– log_{2 + 3} 10 = 0.

Ответ.

11.8. Перепишем уравнение так:

Сразу же видно, что x = 2 — корень уравнения. Покажем, что других корней нет.

Обозначим для удобства первое основание через а, а второе через b. Оба этих основания меньше единицы. Поэтому

b < а < 1;

если x < 2, то а^x > а^2, b^x > b^2, и следовательно,

а^x + b^x > 1;

если же x > 2, то а^x < а^2, b^x < b^2, и следовательно, а^x + b^x < 1.

Ответ. x = 2.

11.9. Если x– 2 /= 0, 1, -1, то log₂ (x + 31) = 3, x = -23. При x = 2 = 0, т. е. x = 2, имеем

, и так как log₂31 > 0, то уравнение удовлетворяется.

При x– 2 = 1, т. е. x = 3, уравнение также удовлетворяется.

Если x– 2 = -1, т. е. x = 1, имеем

Остается проверить значение x = -23. Тогда log₂ 8 = 3, и уравнение снова удовлетворяется.

Ответ.– 23, 1, 2, 3.

11.10. Так как log₃ (3^{x + 1}– 3) = 1 + log₃ (3^x– 1), то, обозначив log₃ (3^x– 1) через y, получим