Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы
Шрифт:
Подставляя в первое уравнение, найдем
откуда получаем x1 = 16/81, у1 = 4/9. Проверкой убеждаемся, что это — решение
Остается проверить, что произойдет при y = 1. Легко видеть, что тогда и x = 1.
Ответ. (16/81, 4/9), (1, 1).
11.23. Так как
то
Подставив в первое уравнение исходной системы и обозначив
(21 - 2u)(16 - u) - 2u^3 = 71,
а после раскрытия скобок
u = 5, т. е. y = 2.
Остальные неизвестные находятся легко.
Ответ. (2, 2, 1).
11.24. Второе уравнение можно записать в виде
2x + 2у (x · 2x– y + 1 + 3y · 22x + y) = 1.
В силу первого уравнения системы выражение в скобках равно 2. Поэтому
2x + 2у + 1 = 1,
откуда
x + 2y + 1 = 0, т. е. x = -2y– 1.
После подстановки в первое уравнение системы получим
2– 3y– 3 = 1/– 4 - 5y, или 23(y + 1) = -(4 + 5y).
Чтобы это уравнение имело решение, необходимо выполнение неравенства
– (4 + 5у) > 0, т. е. y < -4/5.
Рассмотрим следующие три случая.
1. 3(y + 1) < 0, т. е. y < -1. В этом случае правая часть уравнения должна быть меньше единицы, т. е.
– (4 + 5у) < 1, откуда y > -1. Поскольку ограничения y < -1 и y > -1 несовместны, при сделанном предположении нет решений.
2. 3(y + 1) > 0, т. е. y > -1. Тогда правая часть уравнения должна превзойти единицу, а потому y < -1. И на этот раз ограничения несовместны.
3. Остается посмотреть, что будет при 3(y + 1) = 0, т. е. y = -1. Легко проверить, что уравнение удовлетворяется. Найденному значению y соответствует x = 1. Проверкой убеждаемся, что мы нашли решение исходной системы.
Ответ. (1, -1).
11.25.
log8 (y– x)^3 = log8 (3y– 5х).
Следствием данной системы является система
Перемножив входящие в нее уравнения, получим однородное уравнение относительно x и y:
5(y– x)^3 = (3y– 5х)(х^2 + y^2).
Если x /= 0, то разделим последнее уравнение почленно на x^3 и обозначим y/x = u. Получим уравнение относительно u:
u^3– 5u^2 + 6u = 0,
которое имеет корни: u1 = 0, u2 = 2, u3 = 3.
Если u = 0, то y = 0, а из второго уравнения исходной системы x = ±5.
При подстановке в первое уравнение исходной системы x = -5 и y = 0 это уравнение удовлетворяется, а при x = 5 и y = 0 уравнение не удовлетворяется. Если u = 3, то y = 3x, а потому x^2 = 1/2 , откуда
x =±1/2, y = ±3/2
(x и y в силу равенства y = 3x имеют одинаковые знаки). Подстановкой в первое уравнение убеждаемся, что решением системы будут
x = 1/2, y = 3/2.
Если u = 2, то y = 2x. Из двух систем значений (-1, -2), (1, 2) первому уравнению удовлетворяет только вторая.
Осталось рассмотреть случай x = 0. Он не дает новых решений, так как система превращается в два несовместных уравнения.
Ответ. (-5, 0); (1/2, 3/2); (1, 2).
11.26. Способ 1. Из второго уравнения
Подставляем в первое:
Так как
то получим уравнение
Прологарифмируем по основанию 3: