Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы
Шрифт:
y^2 + y– 6 = 0,
откуда y1 = -3, y2 = 2.
Если log3 (3x– 1) = -3, то 3x = 28/27 и x1 = log3 28 - 3. Если log3 (3x– 1) = 2, то 3x = 10 и x2 = log3 10.
Ответ. log3 28 - 3, log3 10.
11.11.
log7 x + logx 7 = log^27 x + log^2x 7 - 7/4.
Дополним правую часть его до полного квадрата суммы (заметим, что log7 x · logx 7 = 1) и обозначим
log7 x + logx 7 = y.
Получим уравнение:
4у^2 - 4у– 15 = 0, откуда у1 = 5/2, y2 = -3/2.
Если logx 7 + log7 x = 5/2, то
Если же logx 7 + log7 x = -3/2, то получим уравнение
y которого нет действительных корней.
Ответ. x1 = 49, x2 = 7.
11.12. Прологарифмируем по основанию 3 и перейдем к общему основанию логарифмов:
откуда следует уравнение
y^3 - 2y + 1 = 0,
где y = log3 x.
Так как у^3 - 2y + 1 = (y– 1)(y^2 + y– 1), то
y1 = 1, y2,3 = – 1 ± 5/2.
Находим соответствующие x и проверяем их.
Ответ. x1 = 3, x2,3 = 3.
11.13. Если
y = logх 3,
то придем к уравнению
из которого получается цепочка следствий
Проверкой убеждаемся, что второе значение y не удовлетворяет исходному уравнению, так как y должен быть отрицательным.
Ответ. x = 1/9.
11.14.
log4 x + log4(10 - x) = 2,
откуда
x^2 - 10x + 16 = 0, x1 = 2, x2 = 8.
Проверкой убеждаемся, что это — корни исходного уравнения.
Ответ. x1 = 2, x2 = 8.
11.15. Перепишем данное уравнение так:
При этом преобразовании мы могли потерять корень, так как при x = 1 левая часть полученного уравнения теряет смысл, в то время как обе части исходного уравнения существуют. Проверкой убеждаемся, что x = 1 — корень данного уравнения [21] .
21
Заметим, что если бы мы перешли к основанию 2, то получили бы уравнение, равносильное данному. Убедитесь в этом самостоятельно.
Преобразуем выражения, стоящие в знаменателях и обозначим logx 2 = y:
1/1 - y– 21/4y + 1 + 10/2y + 1 = 0.
Это уравнение равносильно системе
При y = -2 и y = 1/2 , являющихся корнями уравнения, условие, входящее в систему, удовлетворяется.
Ответ. x1 = 1, x2 = 1/2, x3 = 4.
11.16. Перепишем уравнение в виде
Так как
то придем к уравнению
log2 6 - log2 (4 - x) = log2 (3 + x),
откуда
х^2 - x– 6 = 0, x1 = -2, x2 = 3.
Все применявшиеся преобразования приводили к следствию исходного уравнения. Первый корень при проверке отбрасываем, так как
Ответ. x = 3.
11.17. Уравнение равносильно системе
или
Решим уравнение, после чего проверим, выполняются ли наши ограничения. Уравнение распадается на два. Если