Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ваховский Евгений Борисович

где OAQ = /₂– С. Приравнивая эти два выражения, получим второе уравнение, связывающее углы треугольника:

6 ctg А ctg С = 1. (2)

Остается решить систему из уравнений (1) и (2). Для этого возведем уравнение (1) в квадрат и воспользуемся формулой

 Получим

9(1 + ctg^2 С) = 8(1 + ctg^2 А). (1')

Из уравнения (2) следует, что

(2')

подставляя

значение ctg^2 С в уравнение (1'), после несложных преобразований придем к биквадратному уравнению относительно ctg А:

32 ctg⁴ А– 4 ctg^2 А– 1 = 0. (3)

Так как треугольник ABC по условию остроугольный, то нас интересуют лишь положительные корни уравнения (3). Легко убедиться, что оно имеет единственный положительный корень ctg А = 1/2 . Подставляя в (2), найдем ctg С = 1/3 . Теперь можно найти площадь данного треугольника:

S_ABC = 1/2 AP · a,

где АР = 3. Величину а найдем из треугольника BRC:

Ответ. 6 см^2.

1.12. Поскольку B– С = /₂, угол B — тупой (рис. P.1.12).

Так как

то соотношение b + с = k можно переписать так: 

откуда

h(sin С + cos С) = k sin С cos С.

Возведем последнее уравнение относительно sin 2 С. Корни этого уравнения

Если мы возьмем перед корнем знак минус, то получим sin 2С < 0, чего быть не может, так как угол С острый, следовательно, 0 < 2С < .

Остается

B правой части стоит положительное число. Чтобы можно было найти С, это число не должно превышать единицу, т. е.

Неравенство можно переписать так:

При возведении в квадрат необходимо

добавить ограничение k^2 - 2h^2 >= 0. Получим систему

решением которой будет k >= 22 h, так как k и h по условию положительны.

Ответ.

1.13. Способ 1. После того как из точки О опущены перпендикуляры длины x, y и z на стороны а, b и с соответственно (рис. P.1.13, а), можно записать

2S = ax + by + cz.

С одной стороны, АО = ^y/_sin , а с другой стороны

Таким образом,

После простых преобразований получим

(y^2 - z^2) cosec^2 = c^2 - 2cz ctg ,

(x^2 - y^2) cosec^2 = b^2 - 2by ctg ,

(z^2 - x^2) cosec^2 = a^2 - 2ax ctg ,

где последние два уравнения выведены аналогично первому из рассмотренных отрезков CO и BO. Сложив все три уравнения, получим в левой части нуль, а в правой выражение, в которое входит S:

0 = (a^2 + b^2 + c^2) - 2(ax + by + cz) ctg .

Таким образом,

Способ 2. Так как площадь треугольника ABC равна сумме площадей трех треугольников, на которые треугольник ABC разбивается точкой O (рис. P.1.1З, б), то

S = 1/2 sin (an + bl + cm).

Записав теорему косинусов для каждого из треугольников AOB, BOC, COA, получим

2an cos = a^2 + n^2 - m^2,

2bl cos = b^2 + l^2 - n^2,

2cm cos = c^2 + m^2 - l^2.