Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы
Шрифт:
Сложим три последних равенства:
2 cos (an + bl + cm) = a^2 + b^2 + c^2.
Используя полученное ранее выражение для S, исключим an + bl + cm.
Ответ.
1.14. По условию CD = BC– AC (рис. P.1.14).
Так
AC = CD/sin A, BC = CD/sin B,
то
CD (1/sin B - 1/sin A) = CD
или
sin А– sin B = sin A sin B.
Последнее уравнение можно переписать так:
4 sin A– B/2 cos A + B/2 = cos (А– B) - cos (А + B).
Так как А– B = , то после замены
cos (А + B) = 2 cos^2 A + B/2 – 1
приходим к уравнению относительно y = cos A + B/2:
y^2 + 2 sin /2 y– cos^2 /2 = 0.
Из его корней
y1, 2 = ±1 - sin /2
годится только первый, т. е.
cos A + B/2 = 1 - sin /2.
Задача имеет решение при 0 < < .
Остается решить систему
Ответ. А = arccos [1 - sin /2] + /2,
B = arccos [1 - sin /2] - /2
С = - А– B.
1.15. Площадь S треугольника ABC (рис. P.1.15) может быть записана с помощью биссектрисы l следующим образом:
S = 1/2 (а + b)l sin С/2.
Теперь
аhа = bhb = (а + b)l sin С/2.
Исключая а, получим
откуда
Задача имеет решение, если
B правой части стоит величина, равная половине среднего гармонического длин hа и hb.
Ответ.
1.16. Так как ОС и OB (рис. P.1.16) — биссектрисы соответствующих углов треугольника ABC, то
COB = - (OCB + OBC) = - B + C/2.
Но B + С = - А = - . Следовательно, COB = /2 + /2.
Применяя теорему синусов, получим
Ответ.
1.17. Проведем через центр О1 (рис. P.1.17) вписанной в треугольник ABC окружности прямую, параллельную AC и пересекающую медиану AE в точке О. Докажем, что О — точка пересечения медиан треугольника ABC.
С помощью сравнения площадей получим (а + d)BD = rP, где
P = а + (а + d) + (а + 2d) = 3(а + d),
откуда BD = 3r.
Так как AE — медиана, то из подобия треугольников BDC и EFC следует, что
EF = 1/2 D = 3/2 r.