Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ваховский Евгений Борисович

AC^2 = CE^2 + AE^2 = (CD– DE)² + AE^2.

AD^2 = DE^2 + AE.

Воспользовавшись полученными соотношениями, составим сумму

AB^2 · DC + AC^2 · BD– AD^2 · BC.

Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим

(DE^2 + AE^2)(DC + BD– BC) + DC

· BD^2 + BD · DC^2.

Так как DC + BD = BC, то остается

DC · BD^2 + BD · DC^2 = (BD + DC)DC · BD = BC · DC · BD,

что и требовалось доказать.

1.23. Проведем CE и AD параллельно BQ, а отрезки AP и CR продолжим до пересечения с ними (рис. P.1.23).

Рассмотрим образовавшиеся в результате подобные треугольники. Так как отрезки AD и OQ параллельны, то

 Из подобия треугольников ADO и OEC следует, что

. Итак,

.

Воспользовавшись двумя парами подобных треугольников: EPC и OBP, ADR и RBO, мы можем записать

Следовательно,

1.24. Треугольник ABC и три треугольника, образовавшихся внутри него (рис. P.1.24), подобны.

Поэтому

Следовательно,

1.25. Обозначим угол AOD (рис. P.1.25) через . Так как углы AOB и BOC равны 120°, то углы BOF и COE равны соответственно 60° - и 60° + . Составим сумму

AD^2 + CE^2 + BF^2 = R^2 sin^2 + R^2 sin^2 (60° + ) + R^2 sin^2 (60° - ).

После понижения степени получим

Тем самым доказано, что эта величина не зависит от положения прямой на плоскости.

1.26. По теореме косинусов

с^2 = а^2 + b^2 - 2ab cos С = 7,

откуда с = 7.

По теореме синусов

Угол AOB (рис. P.1.26) центральный, а угол ACB вписанный. У них общая дуга, следовательно, угол AOB равен 120°.

Применим теперь теорему синусов к треугольнику AOB:

Оставшиеся величины R_AOC и R_BOC можно найти по формуле R = ^abc/_4S.

Площади каждого из этих треугольников проще вычислить, если найти их высоты, опущенные из точки О:

Таким образом, площади треугольников AOC и BOC равны

 соответственно, а радиусы окружностей, описанных около этих треугольников, равны ⁷/₃ и ⁷/₄₃ соответственно.

Ответ.

1.27. По теореме косинусов и в силу равенства а^2 = с(b + с) получим b^2 + с^2 - 2bc cos А = c(b + с), откуда

cos А = ^{b– c}/_2c.

Данное в условии равенство можно записать так: с^2 = а^2 - bc, и сравнить его с теоремой косинусов для угла С. Получим

cos С = ^{b + c}/_2a.

Нам нужно доказать, что угол А вдвое больше угла С. Вычислим для этого cos 2С и сравним с cos А:

B выражение для cos А, которое мы получили раньше, сторона а не входит. Поэтому заменим в правой части полученной формулы а^2 на bc + с^2. Получим

т. е. cos А = cos 2С. Так как cos С = ^{b + c}/_2a > 0, то угол С острый. Углы А и 2С лежат между 0 и , т. е. в интервале монотонности косинуса. Таким образом, из равенства косинусов следует равенство углов А = 2С.