Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ваховский Евгений Борисович

1.28. Центр О вписанный окружности лежит на пересечении биссектрис (рисунок сделайте самостоятельно). Поэтому

Подставляя в данное соотношение OA^2 = OB · OC, получим

Применив к правой части формулу преобразования произведения синусов в сумму, приведем равенство к виду

Заметив,

что B + С = - А, получим

cos ^{B– C}/₂ = 2 sin^2 ^А/₂ + sin ^А/₂,

что и требовалось доказать.

1.29. По условию S = а^2 - b^2 - с^2 + 2bc. С другой стороны, S = 1/2 с sin А. Сравнивая эти выражения, получим а^2 - b^2 - с^2 + 2bc = 1/2 bc sin А.

Воспользуемся теоремой косинусов и заменим а^2 на b^2 + с^2 - 2bc cos А. После приведения подобных и сокращения на bc останется тригонометрическое уравнение

1/2 sin А = -2 cos А + 2,

которое можно переписать так:

sin ^А/₂ cos ^А/₂ = 4 sin^2 ^А/₂.

Так как А — угол треугольника, то А лежит в первой четверти и sin ^А/₂ /= 0. Наше уравнение принимает вид tg ^А/₂ = 1/4 .

Ответ. А = 2arctg 1/4 .

1.30. Пусть О₁, О₂, О₃ — центры квадратов, построенных на сторонах треугольника ABC (рис. P.1.30). Опустим из них перпендикуляры на стороны. Проведем средние линии DE и KE. На отрезках О₂K и KE построим параллелограмм KELO₂.

Рассмотрим четырехугольники О₁EDO₃ и BELO₂. При повороте около точки E одного из них на 90° он совпадает с другим (убедитесь в равенстве сторон и углов самостоятельно). Следовательно, отрезки О₁О₃ и ВО₂ равны, что и требовалось доказать.

1.31. Достроим треугольник ABC до параллелограмма так, чтобы сторона AB была диагональю

параллелограмма (рис. P.1.31).

Проведем BD₁ || AD. Точку пересечения BD₁ с диагональю CC₁ параллелограмма обозначим через M₁. Треугольники MDC и M₁BC подобны. Так как MF = ^CF/₄, то MC : MM₁ = 3 : 2. Следовательно, MD : M₁B = 3 : 5. Так как M₁B = AM, то AM : MD = 5 : 3.

Площадь треугольника AFM в восемь раз меньше площади треугольника ABC, т. е. равна 8 . Высота треугольника AFM (F — середина AB), опущенная из вершины F, в два раза меньше высоты треугольника ABD, опущенной из вершины B. Так как AM : AD = 5 : 8, то площадь треугольника AFM относится к площади треугольника ABD как 5 относится к 2 · 8, т. е. как 5 : 16.

Зная, что площадь треугольника AFM равна 1/8 , можно теперь найти и площадь треугольника ABD.

Ответ. ²/₅.

1.32. Способ 1. Пусть R — радиус окружности, а , и - вписанные углы, опирающиеся соответственно на стороны AB, BC и AD (рис. P.1.32). Углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (это отмечено на рисунке). Углы DBC и DAC тоже равны, и их нетрудно вычислить: DBC = DAC = - ( + + ). По теореме синусов 

AB = 2R sin , BC = 2R sin , DC = 2R sin ( + + ), AD = 2R sin .

Таким образом,

AB · DC + AD · BC = 4R^2 [sin sin( + + ) + sin sin ] = 2R^2 [cos( + ) - cos(2 + + ) + cos( - ) - cos( + )] = 2R^2 [cos ( - ) - cos(2 + + )].

Так как

AC = 2R sin ( + ), BD = 2R sin ( + ),

то

AC · BD = 4R^2 sin ( + ) sin ( + ) = 2R^2 [cos ( - ) - cos (2 + + )].

Итак,

AB · DC + AD · BC = AC · BD.