Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ваховский Евгений Борисович

Из подобия треугольников AOC и AEF получаем АО : AE = OG : EF = 2 : 3.

Следовательно, АО : ОЕ = 2 : 1 и О — точка пересечения медиан.

1.18. Площадь треугольника ABC (рис. P.1.18), с одной стороны, равна 1/2 h_аа = 2kr^2, а с другой стороны, равна pr. Следовательно, p = 2kr.

Так

как АВ₁ = АС₁ (касательные к одной окружности) и аналогично BC₁ = ВА₁, СВ₁ = СА₁, то СВ₁ + BC₁ = СА₁ + ВА₁ = а, АВ₁ + СВ₁ + BC₁ = p и АВ₁ = p– а = 2kr– kr = kr. Теперь можно вычислить

tg ^А/₂ = ^r/_kr = ¹/_k.

Чтобы найти стороны b и с, определим величины b + с и bc. Величина b + с определяется просто:

b + с = 2p - а = 3kr.

Чтобы найти bc, вспомним, что площадь треугольника ABC, равная 2kr^2, может быть записана в виде 1/2 bc sin А, где sin А = ^2k/_{1 + k^2} (по формуле универсальной подстановки). Таким образом, bc = 2r^2(1 + k^2).

Решая систему уравнений

найдем 

или наоборот

Задача имеет решение при k > 22.

Ответ.

1.19. Так как углы С, А, B треугольника ABC образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 2, то А = 2С, B = 4С (рис. P. 1.19). Точка О — центр вписанной окружности, т. е. OK и OL являются отрезками соответствующих биссектрис.

Вычислим углы треугольника OLK. Угол KOL равен углу BOA

треугольника BOA, в котором два угла уже известны: угол при вершине А равен С, а угол при вершине B равен 2С. Следовательно, угол BOA = - 3С. Но по условию = А + B + С = 7С, т. е. угол BOA, а следовательно, и угол LOK равны 4С.

Рассмотрим далее треугольник EKC. Угол при вершине E в этом треугольнике (равный углу AEO из треугольника AEO) вместе с углом OAE, равным С, образуют угол LOK, равный 4С. Таким образом, угол KEC равен 3С. Угол ECK равен половине угла ECM, который вместе с углом С образуют , т. е. 7С. Следовательно, угол ECK равен 3С. Найденные два угла, каждый из которых равен 3С, позволяют найти третий: угол OKL равен С.

Таким образом, подобие треугольников ABC и ОLK доказано.

1.20. Сумма всех углов треугольника равна 7А. Поэтому 

B силу теоремы синусов

Соотношение, которое нужно доказать, эквивалентно такому:

или

Преобразуем левую часть:

что и доказывает наше соотношение.

1.21. Проведем AL параллельно BC (рис. P.1.21).

Из подобия треугольников RAL и RBP следует, что

Из подобия треугольников AQL и CQP:

Подставляя значение AL в отношение, полученное раньше, придем к равенству

что и требовалось доказать.

1.22. Пусть AE — высота треугольника, опущенная на BC (рис. P.1.22). Тогда все участвующие в левой части равенства величины можно выразить через AE и длины отрезков, лежащих на BC. При этом следует стремиться связать каждый отрезок с точкой 1. Получим

AB^2 = BE^2 + AE^2 = (BD + DE)^2 + AE^2.