Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ваховский Евгений Борисович

Пусть P₂ — точка пересечения PP₁ с BR, а Q₂ — точка пересечения QQ₁ с BR. По условию P — середина AB. Следовательно, Р₁ — середина BC, а Р₂ — середина BR. Аналогично Q — середина P₁B (так как по условию QB = ^BC/₄), Q₁ —

середина PB, Q₂ — середина BP₂. Из подобия треугольников P₂TP и Q₂TQ (у них равны углы) следует, что P₂T : TQ₂ = PP₂ : QQ₂. Так как P₂P₁ = 4P₂P, а

, то QQ₂ = 2P₂P. Поэтому P₂T : TQ₂ = 1 : 2, а значит, и PT : TQ = 1 : 2.

Ответ. B отношении 1 : 2.

1.52. Способ 1. Соединим точки P и T (рис. P.1.52, а).

Пусть QN = RL = а, QT = m, TL = n, RT = l, TN = k. Обозначим треугольники, полученные из треугольника PQR: треугольник LTR — цифрой 1, треугольник RTQ — цифрой 2, треугольник QTN — цифрой 3, треугольник NTP — цифрой 4, треугольник PTL — цифрой 5, а их площади или площади образовавшихся из них фигур буквой S с соответствующими индексами.

Треугольники 1 и 1 + 5 имеют общую высоту. Аналогично треугольники 3 и 4. Поэтому

S₁ : S_{1 + 5} = а : PR, S₃ : S₄ = а : PN,

откуда

< image l:href="#"/>

(7)

B треугольниках 1 и 3 углы при вершине T равны как вертикальные, т. е. S₁ : S₃ = (nl) : (mk). У треугольников 4 и 1 + 5 общая высота, соответствующая вершине P, т. е. S₄ : S_{1 + 5} = k : l. Остается найти PN : PR из (7).

Способ 2. Пусть QN = RL = а, QT = m, TL = n (рис. P.1.52, б).

Обозначим угол NRP через , угол PNR через , а равные углы RTL и NTQ через .

Из треугольника PNR имеем

^PN/_PR = ^sin /_sin . (8)

Из треугольника NTQ имеем

^a/_m = ^sin /_sin . (9)

Из треугольника LTR имеем

^a/_n = ^sin /_sin . (10)

Разделим (10) на (9):

^m/_n = ^sin /_sin , т. е. в силу (8) ^PN/_PR = ⁿ/_m.

Ответ. n : т.

1.53. Так как MO₁N = 60°, то MN сторона правильного вписанного в первую окружность шестиугольника. Ее длина равна радиусу первой окружности. На хорду MN (рис. P.1.53) опирается также вписанный в первую окружность MO₂N, измеряемый половиной дуги MbN, которая равна 300°.

Поэтому центральный угол MO₂N = 150°. Чтобы вычислить периметр фигуры MLNO₂, общей для обеих окружностей, нужно знать радиус второй окружности. Он равен длине любого из отрезков O₂L, O₂N и O₂М. Можно рассчитать из треугольника O₁MO₂ по теореме косинусов

Теперь можно вычислить длины каждой из дуг MLN и MO₂N: дуга

B сумме получим

Ответ.

1.54. Пусть AB = а, BC = b, CD = с, DA = а, а опирающиеся на эти хорды углы равны соответственно , , , (рис. P.1.54).

Тогда площадь S четырехугольника ABCD равна:

S = 1/2 ab sin ( + ) + 1/2 cd sin ( + ) = 1/2 sin ( + )(ab + cd).

(Так как + = - ( + ), то sin ( + ) = sin ( + ).)

По теореме синусов

а = 2R sin = 2 sin (так как R = 1),

b = 2 sin , с = 2 sin , d = 2 sin .