Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы, Ваховский Евгений Борисович

Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

на обложку

Ваховский Евгений Борисович

Шрифт:

1.43. Так как OE^2 = R^2 - x^2 и OF = R/2 (рис. P.1.43), то

С другой стороны, EF = 2x. Получаем уравнение

R^2 - x^2 = (R/2 + 2x)^2,

решая которое найдем половину стороны квадрата x = 3/2 .

Ответ. 3.

1.44.

Введем обозначения, указанные на рис. P.1.44. Так как меньшая окружность вписана в угол ADC, то ее центр О1 лежит на биссектрисе этого угла.

Из треугольника ОО1F имеем ОО^21 = OF^2 + FO^21, т. е.

(R + r)^2 = (R– r)^2 + x^2. (4)

Из треугольника АВН: АН = ВН ctg = R ctg , т. е.

а = 2R + 2Rctg . (5)

Из треугольника O1GD:

r = (a/2– x)tg /2. (6)

Из уравнения (4) находим 4Rr = x^2, или 2R r = x, и подставляем в уравнение (6). Получим

2r + 4R r tg /2– a tg /2 = 0,

или, проще,

2 ctg /2r + 4R r– a = 0.

Мы пока не будем выражать R через а и , а, наоборот, заменим а его выражением через R и . Это удобнее, так как квадратное уравнение таково, что впоследствии R можно будет вынести за скобки:

Знак минус перед корнем не имеет геометрического смысла. Если в подкоренном выражении воспользоваться формулой котангенса двойного угла, то

Следовательно,

Итак,

Ответ.

1.45. Рассмотрим вначале случай, когда диаметр CD разбивает фигуру PQNM на две части. Докажем, что фигуры CQNK и OQ1D равновелики (рис. P.1.45, а). Имеем

SCKNQ = SCDQ– SKND,

где SCDQ = SCOQ + SQOD.

Итак, SCKNQ = SCOQ + SQOD – SKND.

Если

радиус меньшей окружности равен r, то радиус большей равен r2. Углы CDQ и COQ опираются на общую дугу CQ, причем один из них вписан в окружность, а другой является центральным. Следовательно, если угол CDQ равен , то угол COQ равен 2. Теперь мы можем вычислить площади секторов COQ и KDN:

Таким образом, SCOQ = SKND. Тем самым доказано, что SCKNQ = SQOD. Поскольку треугольники QOD и Q1OD равновелики (у них общее основание и общая высота), то

Аналогично доказывается равенство

, что и завершает доказательство для случая, когда точки P и Q лежат по разные стороны от CD.

Если точки P и Q лежат по одну сторону от диаметра (рис. P.1.45, б), то решение не меняется. Только в конце найденные площади придется не складывать, а вычитать.

1.46. Из треугольника OAK (рис. P.1.46)

OK^2 = R^2 - (AB/2)^2.

Так как KP1 = AP1– AB/2, то из треугольника OKP1

По условию OP1 = MP1. Приравнивая два полученных выражения для OK^2 и заменяя ОР1 на МР1, найдем

Нам нужно вычислить длину отрезка MP. Чтобы воспользоваться прямоугольным треугольником MPP1, в котором мы знаем длину МР1, нужно вычислить PP1. Так как треугольник APB прямоугольный, то