Сто лет недосказанности: Квантовая механика для всех в 25 эссе
Шрифт:
Представьте себе, что вы получаете электрон, по своему усмотрению выбираете направление в пространстве и интересуетесь, под каким углом к этому направлению повернута та самая «магнитная» стрелка этого электрона. Для этого имеется прибор, названный по именам двух ученых, впервые применивших его в 1922 г. (первоначально к ионам серебра), – прибор Штерна – Герлаха. Никакой разговор о спине не может обойтись без прибора Штерна – Герлаха; это не только реально существующее устройство, но и основной фигурант множества рассуждений и мысленных экспериментов, проясняющих структуру квантовых законов.
Задача прибора – сортировать влетающие в него миниатюрные магниты в зависимости от их ориентации. Для этого там создается магнитное поле особой конфигурации, которое отклоняет летящие магниты в зависимости от того, как их «магнитные стрелки» повернуты по отношению к этому магнитному полю. Отклонения фиксируются по следам, которые остаются на специальном экране, стоящем за прибором. Если магнитное поле, созданное в приборе, направлено
Но это если у вас обычные магниты. Электроны же ни в какие промежуточные положения не попадают, они вылетают только с двумя крайними вариантами отклонения. Это значит, что стрелка, выражающая магнитные свойства электронов, смотрит или точно «вперед», или точно «назад» вдоль выбранного направления. Ничего посередине, никаких промежуточных положений не случается.
Неожиданно! Ведь выбор, скажем, вертикального направления в приборе Штерна – Герлаха – произвольное решение. Выберем другое, просто наклонив прибор. Результат получается тот же, что и раньше, но в отношении нового направления: только два крайних отклонения вдоль этого направления, а это значит, что «волшебные стрелки» всех электронов смотрят или строго вдоль него или строго противоположно.
Никто, кстати, не говорит «стрелка» или тем более «волшебная стрелка»: все говорят «спин». Итак: спин электрона всегда направлен или вдоль выбранного направления, или в точности противоположно ему (угол 0° или 180°, и никакой другой). Любого направления.
Кажется, что здесь скрывается противоречие и вроде бы несложно изобрести простую стратегию, чтобы его выявить. Используем, как и ранее, прибор Штерна – Герлаха, измеряющий спин вдоль вертикального направления, и будем посылать в него электроны один за одним. Те, которые отклонились вверх, имеют, значит, спин, направленный вверх. С ними, кажется, все понятно: если не давать им удариться об экран, а отправить во второй, точно такой же, прибор Штерна – Герлаха, то все они продемонстрируют спин вверх. Но теперь положим этот второй прибор на бок – так, чтобы он отклонял пролетающие через него магниты вдоль горизонтального направления, скажем, слева направо. В спине каждого из отобранных электронов нет никакого предпочтения между левым и правым, поскольку угол между вертикальным и горизонтальным направлениями – прямой. А значит, второй прибор не отклонит электроны ни влево, ни вправо?
Ничего подобного. Каждый электрон отклонится одним из двух крайних способов – максимально влево или максимально вправо – сообщая тем самым о своем спиновом состоянии «спин влево» или «спин вправо». Но чем же может определяться выбор?
Ничем. Природа прибегает здесь к спасительной – той самой немотивированной – случайности. Результаты «спин влево» и «спин вправо» чередуются в случайном порядке от одного электрона к другому, а про каждый конкретный электрон нет способа предсказать, какой из двух вариантов получится.
А теперь вспомним про исходное вертикальное направление спина: с ним-то как? Направим электроны из второго прибора Штерна – Герлаха в третий, который снова измеряет спин вдоль вертикального направления. Оказывается, что от исходно отобранных спинов вверх не осталось даже воспоминаний: электроны показывают случайно чередующиеся «спин вверх» и «спин вниз», причем в равных пропорциях. Хотя с самого начала мы отобрали электроны со спином вверх, измерение спина вдоль другого направления стирает воспоминания о том, каков был спин до того.
Подведем промежуточный итог. Измерение спина электрона всегда дает один из двух результатов: «спин вперед» или «спин назад» вдоль направления, выбранного для измерения. Оно, это направление, может быть любым, но только каким-то одним; значения спина вдоль разных направлений не прикрепляются к электрону одновременно. Это – прямое следствие вражды, связанной с идеей вращения.
Вражда «вращательных» свойств устроена математически схожим образом и для состояний электрона в атоме, и для спина электрона. Электрон в атоме, как мы видели на в главе 4, обладает двумя атрибутами вращения: это степень раскрутки и еще одно число, причем оба они принимают дискретные значения. Аналогично, атрибуты вращения, которые внутренне присущи электрону из-за наличия у него спина, – это два числа, которые тоже принимают дискретные значения, и одно из них тоже выражает степень раскрутки, но только она одинаковая для всех электронов. Это перефразирование того факта, что все магниты, связанные с электронами, равны по силе. При этом «раскруточное» число, относящееся к спину электрона, слегка нарушает правила, которые выполнены для электронов в атомах: там эти числа могут быть равны 0, 1, 2, 3 и так далее, тогда как собственное раскруточное число электрона – не целое, а полуцелое, причем наименьшее положительное полуцелое: 1/2. Это и выражают словами «спин электрона равен 1/2». Отвечающая электрону степень раскрутки – самая малая, которая только может существовать, не считая нулевой. В природе нет ничего с меньшей (но ненулевой) степенью раскрутки.
Из математики вражды следует, что второй атрибут вращения принимает не любые дискретные значения, а
32
Как мы видели в главе 4, если «раскруточное» число равно 0, то число, отвечающее второму атрибуту вращения, может быть только нулевым; если раскруточное равно 1, то для второго открываются три возможности: –?, 0, ?; если равно 2 – то пять возможностей: –2?, –?, 0, ?, 2?; и т. д. Шаг между соседними значениями равен ?. Стоящее за этим правило удается сохранить и для полуцелых раскруточных чисел; в частности, при раскруточном числе 1/2 для второго атрибута вращения остаются доступными всего две возможности: –?/2 и ?/2, расстояние между которыми по-прежнему равно ?.
33
Атрибуты вращения обоих видов – и связанные с состоянием электрона в атоме, и собственно спин электрона – участвуют в определении формы таблицы Менделеева. Каждая клетка в ней – отражение дискретности для разрешенных значений энергии и атрибутов вращения. При каждом возможном значении энергии из списка (с номерами 1, 2, 3, …) «степень раскрутки» электрона определяется целым числом, для которого разрешен ограниченный набор значений. А именно, для энергии № 1 из списка это целое число может быть только равно 0; для энергии № 2 оно может быть равно 0 или 1; для энергии № 3 – равно 0, 1 или 2; и т. д. А для каждого числа, измеряющего степень раскрутки, имеется свой собственный набор значений для второго атрибута вращения. Состояние электрона в атоме определяется, таким образом, набором трех целых чисел: одно отвечает за энергию и два за атрибуты вращения. На этом мы остановились в главе 4, пообещав одно уточнение. Оно состоит в том, что из-за наличия спина каждой подходящей тройке чисел могут соответствовать два электрона в атоме: они различаются тем, что их спины направлены противоположно. Два электрона – максимум при заданном «энергетическом» числе и двух атрибутах вращения; третьего такого же они не потерпят. Отсюда следует, что при движении по клеткам в таблице элементов (при чтении ее как книги, слева направо вдоль строк и сверху вниз по строкам) все новые электроны вынуждены осваивать состояния со все более высокими энергиями, что приводит к периодическому повторению схожих, до некоторой степени, химических свойств. Из приведенных ограничений на возможные значения чисел, отвечающих за атрибуты вращения, и из наличия спина следуют длины периодов в таблице Менделеева.
Спин все-таки не настоящая стрелка: сам по себе он существует в малонаглядном состоянии, а как только мы беремся за прибор Штерна – Герлаха, чтобы на него «посмотреть», он упрямо укладывается «строго вдоль» или «строго против» установленного нами направления. Обычные стрелки, даже воображаемые, так себя не ведут. Но это удивительное поведение глубоко укоренено в математике и связано с тонкими свойствами поворотов в пространстве. (Да, «атрибуты вращения» хоть и квантовые и не описывают вращение в привычном смысле, все же состоят с ним в родстве.)
Математическое отступление почти на целую страницу о связи спина и поворотов, которое я хочу сделать, начинается с придуманного Дираком фокуса с ремнем. Возьмите ремень средней ширины и книгу, желательно толстую (содержание большого значения не имеет, важнее формат и масса). Раскройте ее примерно посередине, вложите между страницами конец ремня без пряжки, закройте и положите на край стола. Тяжестью своих страниц книга должна удерживать конец ремня. Держась за пряжку, растяните ремень как ленту (натягивать сильно ни к чему, да и невозможно, потому что ремень выскочит из книги). Теперь поверните пряжку на два полных оборота (на 720°); ремень при этом скрутится. А далее ваша задача – избавиться от этой скрученности, ничего больше не вращая. Зажмите пряжку в одной руке и не отпускайте! Другой рукой вам понадобится взять книгу, не давая ремню из нее выскочить. Вы увидите, что, не вращая книгу – сохраняя ее ориентацию в пространстве, – вы можете обнести ремень вокруг нее так, чтобы он полностью раскрутился. Скручивание на два полных оборота удается «открутить», не прибегая к вращению (ни пряжки, ни книги), а только обнося ремень вокруг книги.