Сто лет недосказанности: Квантовая механика для всех в 25 эссе

Семихатов Алексей

Вопросы о том, что и как в квантовом мире меняется со временем, надо задавать главному фигуранту – волновой функции. Это она меняется. А управляет ее изменениями энергия. Это понятие оказалось глубокой вещью; исходно мы узнали о свойствах энергии, изучая классический мир, где она берет на себя обязанности одного из главных регуляторов (не бывает вечного двигателя, а заодно и некоторых других вещей). В квантовой области она поднялась на новую высоту: Шрёдингер написал уравнение, содержание которого в том, что энергия говорит волновой функции, как ей изменяться во времени.

Энергия участвует в уравнении Шрёдингера, приняв специальный математический вид, который позволяет ей преобразовывать состояния (волновые функции), – вид «свирепого преобразователя», если выражаться, как в главе 3. Она становится операцией, воздействующей на волновые функции.

Каждой

физической величине, как мы уже говорили, в «глубине» квантовой механики соответствует своя операция; ее смысл и содержание, как мы теперь в состоянии уточнить, – воздействие на волновые функции. Каждая такая операция каким-то образом изменяет любую подвернувшуюся ей волновую функцию; то, как именно изменяет, составляет часть ее математического определения. Из всех мыслимых операций особенную роль играет одна, соответствующая энергии: она отвечает за эволюцию во времени. То, как она «толкает» волновую функцию, определяет, какой станет волновая функция в следующий момент времени.

Имеющееся состояние/волновая функция «сейчас» – очень сложная или, наоборот, совсем простая комбинация возможностей – в следующий момент времени получит добавку, определяемую тем, как именно «свирепая» энергия его, это состояние, «толкнула». Добавка приобщается к имевшемуся состоянию с помощью тех самых знаков плюс, которые появляются у нас при составлении комбинаций. В результате возникает новое состояние, которое, в свою очередь, получает новую добавку от толчка со стороны энергии, и так далее.

Это, между прочим, означает, что развивается во времени именно комбинация возможностей, которые могут совместно присутствовать там в очень большом числе (что в приложении к квантовому компьютеру иногда не совсем строго выражают словами, что он «анализирует все случаи одновременно»).

Если вы находитесь в волшебном казино из предыдущей главы, а на руках у вас всего одна волшебная карта (аналог одного электрона), то с течением времени она могла бы эволюционировать, например, от комбинации «трамвайных билетов» (мелких карт) черных мастей к комбинации, содержащей много картинок красных мастей. Роль энергии в казино могли бы, наверное, каким-то образом исполнять деньги, но разумная часть моей метафоры тут заканчивается, не доходя до закона эволюции в подражание Шрёдингеру. А вот для физической системы, состоящей из электрона и протона, ее волновая функция – это комбинация всех мыслимых конфигураций этой пары, т. е. положений электрона и протона. Энергия-как-операция «толкает» волновую функцию, изменяя числа, сопровождающие различные конфигурации, в зависимости от того, какое значение энергии было бы у электрона и протона, окажись они в данной конфигурации. А если объектов, например, три, то каждая конфигурация содержит три указания: «первый объект в точке А, второй в точке Б, третий в точке В»; в волновой функции, как мы помним, комбинируются эти конфигурации целиком, а не возможные положения отдельных объектов.

В привычном нам мире классической механики все совсем не так: летают, скажем, три планеты, притягивая друг друга, и развитие этой системы во времени описывается тремя траекториями; каждая траектория «соткана» из точек в пространстве, поэтому всегда можно сказать, насколько близко и когда какая-то из планет подходит к интересующей нас пространственной точке X. Уравнение же Шрёдингера устроено довольно высокомерно по отношению к пространству, в котором мы живем: информация, которую из этого уравнения можно извлечь, не дает ответа на вопрос о том, что происходит в выбранной одной точке X.

После того как все происходящее перенесено в математическое пространство, где обитают волновые функции, мы решаем уравнение Шрёдингера, чтобы узнать, какая комбинация возможностей возникнет в последующие моменты времени, если известно, как именно (с какими числами) скомбинированы возможности в состоянии «сейчас», и также известна энергия для каждой мыслимой конфигурации. (Для систем, выходящих за рамки самых простых, решение уравнения Шрёдингера обычно нельзя записать на бумаге в виде одной формулы, но это «наши проблемы» – чисто техническое, а не принципиальное усложнение.) Фундаментальные уравнения почему-то редко вслух называют законами природы, но уравнение Шрёдингера – один из них {39} .

39

Уравнение Шрёдингера – фундаментальный закон природы, но мы тем не менее хорошо знаем его ограниченность. Оно никак не учитывает структуру пространства-времени, которая была открыта в рамках специальной теории относительности. Это, как говорят, нерелятивистское

уравнение. На практике это означает, что уравнение Шрёдингера применимо, пока характерные скорости в системе малы по сравнению со скоростью света. Мы еще вернемся к релятивистскому обобщению квантовой механики.

Отдельный интерес среди волновых функций представляют стационарные – те, которые описывают постоянно существующие объекты; в первую очередь это, конечно, атомы и молекулы. Если что-то существует в «неизменном виде», то можно подумать, что и волновая функция такого образования совсем не меняется с течением времени. Но в квантовой механике достичь этого «совсем» не удается: энергия в своей «свирепой» форме слишком свирепа для этого. Волновым функциям стационарных образований приходится зависеть от времени, но удается при этом обзавестись специальной, «минимальной» зависимостью. Ее можно представлять себе как нескончаемый бег по кругу, но не в обычном, а в том математическом пространстве, где живет волновая функция. Бег этот сам по себе недоступен для наблюдения, но контакт с наблюдаемыми величинами обеспечивается тем, что частота обхода окружности определяет некоторое значение энергии – именно то, при котором и существует интересующий нас «постоянный» объект. Стационарные состояния – это состояния с постоянным значением энергии.

Для состояний с постоянным значением энергии эволюционное уравнение Шрёдингера принимает более специальный вид и становится уравнением, решая которое, следует найти две вещи: при каких именно значениях энергии вообще существуют волновые функции с этой специальной минимальной («круговой») зависимостью от времени, а также какой, собственно, вид эти волновые функции имеют. Трудно переоценить, насколько важным для существования нашего мира оказывается один математический факт: такие волновые функции представляют собой штучный товар – они существуют крайне «редко», можно даже сказать, «почти никогда», за исключением тех случаев, когда значение энергии в точности совпадает с одним из специальных дискретных значений («из списка», как мы говорили в начальных главах). В каждом таком случае свирепая энергия отчасти умиротворяется. Она изменяет такую специальную волновую функцию лишь минимальным образом: просто умножая ее на число. Это число и оказывается численным значением энергии. Весь список разрешенных значений энергии составляется таким способом.

Мы уже говорили, что атомы каждого элемента существуют только со вполне конкретными конфигурациями своих электронов. Теперь мы видим математическую подоплеку: уравнение Шрёдингера для атома в стационарном состоянии допускает только вполне конкретный набор решений. В частности, решение для состояния с минимальной (первой в списке) энергией единственно {40} .

Сформулировав свое уравнение и поняв, как оно решается для простой стационарной системы – атома водорода, Шрёдингер сумел теоретически пройти путь от волновых функций, в которых ничего дискретного нет, к дискретности, которая играет определяющую роль в устройстве мира. (При этом он уложился в рождественские каникулы в горах, куда отправлялся в конце 1925 г., видимо, без ярко выраженного намерения произвести переворот в науке; однако уже в начале пребывания там он сетовал в письмах на свое «недостаточное знание математики».) Абстрактный формализм и выполняемые на бумаге математические преобразования позволили объяснить весь список разрешенных значений энергии для атома водорода – что было важнейшим первым достижением в последовавшей затем череде успешных применений уравнения Шрёдингера.

40

Электроны в атоме можно «взбадривать», тогда они некоторое небольшое время просуществуют с некоторыми другими, более высокими значениями энергии, и такой возбужденный атом, конечно, отличается от обычного невозбужденного; но и тут правит дискретность – обеспечивающая, кстати, как уже говорилось, уникальную «цифровую подпись» каждого атома в виде длин волн света, которые атом излучает и поглощает.

Правда, сам автор уравнения первое время после его создания и триумфальной проверки рассчитывал на большее: он надеялся описать вообще все квантовые объекты, начиная с электрона, как «сгустки» волновой функции. Этот план полностью провалился, как мы уже кратко упомянули в главе 3, а теперь можем рассказать с большей точностью. Причин было несколько. В первую очередь, волновая функция не может описывать квантовые объекты в системе по одному, а может – только всю систему целиком и поэтому не позволяет ответить на вопрос о том, что происходит (или даже «может произойти») в какой-то одной точке пространства. Если объектов в системе больше одного, то волновая функция – это не описание бегающих по пространству волн, отвечающих отдельным квантовым объектам.