Сто лет недосказанности: Квантовая механика для всех в 25 эссе

Семихатов Алексей

К этому стоит добавить, что волновая функция еще и ненаблюдаема: нет физической процедуры, позволяющей, даже теоретически, точно ее измерить. Принципиально ненаблюдаем, в частности, тот самый «бег по кругу» в воображаемом пространстве. (И однако же, попытки избавиться от него в теоретическом описании немедленно разрушают всю квантовую теорию! Без него просто ничего не работает.)

Еще одна причина, по которой не удался план Шрёдингера описывать материю как «сгустки» волновой функции, носит более технический характер и, собственно говоря, представляет собой препятствие в попытке «выкрутиться» – произвести с волновой функцией математические действия, каким-то разумным образом оставляющие зависимость только от одной точки (правда, так получается уже не волновая функция, а математически совсем другой объект). После этого появляется надежда сказать: «Вот, если получилось что-то, отличное от нуля

вблизи точки X, но равное нулю вдали от нее, то, значит, в точке X и находится квантовый объект, и он построен из волновой функции». Идея не сработала, потому что в силу самого уравнения Шрёдингера пространственный размер области, где «что-то», построенное таким способом, отлично от нуля, непрерывно увеличивается. Объекты, описываемые подобным образом, должны со временем широко расползаться по пространству – достаточно широко, чтобы вступить в явное противоречие с опытными данными.

Тем не менее уравнение Шрёдингера стало универсальным инструментом квантовой механики. Ключевая догадка, воплощенная в нем, – в том, что управляющая роль принадлежит энергии. А энергия – очень универсальное понятие, и в различных ситуациях надо просто правильно учесть все имеющиеся в задаче виды энергии и превратить каждый в преобразователь волновой функции.

Правда, это последнее может потребовать изобретательности, как это было в случае спина. Из-за наличия спина электрон становится магнитом; а всякий магнит получает добавку к своей энергии, когда находится в магнитном поле. В случае электрона разговаривает с магнитным полем «упрямая стрелка» из главы 7; используя ее, несложно записать выражение для энергии, практически копируя то, которое работает для обычных магнитов. Но далее необходимо понять, каким же способом ее вклад в энергию дополнительно «толкает» волновую функцию. Как это организовать, придумал Паули в 1927 г. Он использовал спиноры, включив их в волновую функцию. В свете нашего знакомства со спинорами в предыдущих главах это самый короткий способ сказать, в чем состояло изобретение Паули, но говорить так не очень хорошо, потому что сам Паули не просто «использовал», но, для начала, придумал математические объекты, которые впоследствии получили название «спиноры».

Спиноры несут в себе две опорные возможности: «спин вперед» и «спин назад» вдоль любого выбранного направления в пространстве. Технически Паули разрешил волновой функции стать «двойной»: вместо одной волновой функции для (несуществующего) электрона без спина нужны две, чтобы описывать электрон со спином; они соответствуют этим двум опорным возможностям (и могут, конечно, комбинироваться). Их называют компонентами волновой функции, а сам термин «волновая функция» закрепляют за ними, взятыми вместе. Две компоненты волновой функции определенным образом изменяются в ответ на повороты «волшебной стрелки», а энергия электрона в магнитном поле зависит от того, в какую сторону смотрит эта стрелка. В результате добавка к энергии электрона за счет взаимодействия его спина с магнитным полем и получает возможность «толкать» волновую функцию.

Две компоненты волновой функции не повторяют друг друга – они определяются из двух взаимозависимых уравнений, вовлекающих их обеих, но несколько по-разному. Иногда эти два уравнения называют уравнениями Паули, но часто – все равно уравнением Шрёдингера, потому, надо полагать, что принцип там остается тем же: энергия говорит волновой функции, как ей меняться во времени. Таким образом удалось описать все основные эффекты, связанные со спином. Не только строение атома, но и взаимодействие атомов, т. е. содержание всей химии, – это в основе своей квантовое явление. Заведомо лучший (но, увы, практически нереализуемый) способ узнать все о химических реакциях – решать уравнение Шрёдингера для участников каждой реакции, как минимум для всех «задействованных» электронов (с учетом, разумеется, их спинов) и атомных «остовов» (того, что остается в атоме, когда эти электроны его покинули) {41} .

41

Поскольку в практическом плане решение уравнения Шрёдингера для нескольких взаимодействующих участников невозможно, химия опирается на более «крупномодульные» рассуждения, которые в большинстве случаев дают неплохое качественное описание. Разработать адекватные вспомогательные схемы – само по себе немалое достижение, а если они хорошо работают, об их квантовой первооснове можно почти забыть; она тем не менее никуда не делась.

При всех достижениях уравнения Шрёдингера с учетом спина электронов, одно обстоятельство оставалось некоторое время загадочным. Для электрона в магнитном поле вклад спина в энергию в два раза весомее, чем вклад в энергию «атрибутов вращения», которые электрон может брать себе, находясь в атоме. Другими словами: атрибуты вращения, связанные со спином, в два раза эффективнее в производстве

магнитных свойств, чем атрибуты вращения, связанные с пребыванием электрона в атоме. Это удвоение поначалу никак не объяснялось, но только с ним получалось правильное уравнение Шрёдингера со спином. Окончательное понимание пришло из более глубокой теории, до которой мы доберемся ближе к концу книги.

Отвлекаясь от спина: некоторых современников создания квантовой механики беспокоила (а иных и раздражала) «математичность» уравнения Шрёдингера – не в смысле его сложной формы (концептуально уравнение простое), а в смысле оторванности от физического пространства. Описываемые им «события» разворачиваются в математическом пространстве, а обитающая там и изменяющаяся со временем волновая функция, во-первых, не подлежит наблюдению, а во-вторых, не содержит в себе готового ответа на вопрос, что происходит «здесь у нас». Да, мы говорим об электронах и всем остальном, но затем делаем логический скачок, переходя к волновой функции. А если мы без пояснений получим в подарок волновую функцию какой-либо относительно сложной системы, то как мы узнаем, что именно отвечает ей в нашем пространстве?

И кроме того, уравнение Шрёдингера детерминистское! При заданной «сейчас» волновой функции оно позволяет однозначно определить волновую функцию в любой момент времени. В нем, другими словами, нет совсем ничего случайного, оно ничего не знает о вероятностях – хотя из опыта твердо известно, что в квантовый мир встроена случайность и предсказывать можно только вероятности. Не удивительно ли, что уравнение Шрёдингера тем не менее – основное средство для описания квантового мира?

Подружиться с вероятностями и стать главным уравнением квантовой механики уравнению Шрёдингера помогло важное дополнение, которое придумал уже не Шрёдингер. Союз получился отчасти противоестественным (этому посвящены несколько последующих глав), но при этом на удивление эффективно работающим (собственно говоря, охватывающим все практические приложения квантовой механики).

Недостающий пока элемент всей схемы – правило Борна.

10

Что с вероятностями, кошкой и коллапсом

Открытие правила, которое задает вероятности, было еще одним ключевым вкладом в квантовую механику. Уравнение Шрёдингера, управляющее развитием волновой функции во времени, совсем недолго просуществовало без ясной связи с квантовой случайностью; Борн (который еще до написания Шрёдингером его уравнения внес значительный вклад в развитие квантовой механики в варианте от Гайзенберга) вскоре догадался, где она там прячется.

Вероятности заключены в самой волновой функции – в числах, которые участвуют в составлении комбинаций. Одна из волшебных карт в предыдущих главах выглядела как «семерка треф минус две тройки пик». Семерка здесь указана один раз, а тройка – минус два раза. Эти числа – еще не вероятности, но до них остался всего один шаг: возведем каждое число в квадрат, т. е. умножим само на себя. В этом и состоит правило Борна для получения вероятностей. Единица в квадрате дает единицу, а минус два в квадрате – это четыре, и это уже практически вероятности: если вы будете приходить в казино с одной и той же волшебной картой «семерка треф минус две тройки пик» каждый вечер, то за несколько месяцев убедитесь, что при «предъявлении» ваша волшебная карта расколдовывается в тройку в четыре раза чаще, чем в семерку {42} .

42

Строго говоря, получившиеся числа 1 и 4 – это еще не совсем вероятности, потому что сумма всех вероятностей должна быть равна единице. Поправить дело очень легко: складываем имеющиеся числа, 1 + 4 = 5, и делим каждое из них на эту сумму. Получаем вероятности 1/5 и 4/5, т. е. 20 % и 80 %. Я, как правило, не обращаю внимания на эту процедуру нормировки вероятностей.

Пользуясь правилом Борна, мы предсказываем максимум того, что в квантовой механике можно предсказывать, – вероятности. Именно их мы проверяем в наблюдениях, неизменно убеждаясь, что схема «уравнение Шрёдингера плюс правило Борна» превосходно работает. Все практические выводы из квантовой механики делаются с применением правила Борна. И тем не менее с ним связана тайна, причем тайна высшего разряда, если у тайн бывают разряды.

Когда мы говорим, что волновая функция эволюционирует, это означает, что с течением времени изменяются числа, сопровождающие каждую возможность в их комбинации. Теперь мы знаем, что тем самым изменяются и вероятности. Одни возможности вообще перестают быть актуальными, а какие-то другие, отсутствовавшие ранее, появляются.