Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
dp
d
–
n
dp
d
dS
,
где , , - координаты элемента dS, а l, m, n - направляющие косинусы нормали.
Так как токовый лист имеет форму сферы, направляющие косинусы нормали равны
l
=
a
,
m
=
a
,
n
=
a
,
Но
dp
d
=
(z-)p^3
=-
dp
dz
,
и
dp
d
=
(z-)p^3
=-
dp
dy
,
так
m
dp
d
–
n
dp
d
=
{(z-)-(y-)}
p^3
a
,
=
{z(-y)-y(-z)}
p^3
a
,
=
z
a
dp
dy
–
y
a
dp
dz
.
Умножая последнее выражение на dS и интегрируя по поверхности сферы, находим
F
=
z
a
dP
dy
–
y
a
dP
dz
.
Аналогично
G
=
x
a
dP
dz
–
z
a
dP
dx
,
H
=
y
a
dP
dx
–
x
a
dP
dy
.
Вектор A, составляющими которого являются F, G, H, очевидно, перпендикулярен к радиус-вектору r и вектору, компоненты которого равны dP/dx, dP/dy, dP/dz. Если мы найдём линии пересечения сферической поверхности радиуса r с семейством эквипотенциальных поверхностей, соответствующих значениям P, меняющимся по арифметической прогрессии, то направление этих линий определит направление вектора A, а их плотность - величину этого вектора.
На языке кватернионов
A
=
1
a
V.P
.
672. Если предположить, что внутри сферы величина P равна
P
=
A
r
a
i
Y
i
,
где Yi есть сферическая гармоника порядка i, то вне сферы
P'
=
A
r
a
i+1
Y
i
.
Функция тока ,
dP
dr
–
dP'
dr
r=a
=
4
,
определяется равенством
=
2i+1
4
·
1
a
AY
i
.
Магнитный потенциал внутри сферы равен
=
– (i+1)
1
a
A
r
a
i
Y
i
,
а вне сферы
'
=
i
1
a
A
a
r
i+1
Y
i
,
Пусть, например, при помощи провода, свёрнутого в форме сферической оболочки, необходимо создать внутри этой оболочки однородную магнитную силу M. В этом случае магнитный потенциал оболочки представляется объёмной гармоникой первого порядка и имеет вид =-Mr cos , где M есть магнитная сила . Отсюда
A
=
1
2
aM
и
=
3
8
Ma
cos
.
Функция тока, таким образом, пропорциональна расстоянию от экваториальной плоскости сферы, и поэтому число витков провода между любыми двумя малыми кругами должно быть пропорционально расстоянию между плоскостями этих кругов.
Если N есть полное число витков, а - сила тока в каждом из них, то = 1/2 N cos .
Отсюда магнитная сила внутри катушки равна
M
=
4
3
N
a
.
673. Теперь определим способ намотки провода, приводящий к созданию внутри сферы магнитного потенциала в виде объёмной зональной гармоники второго порядка:
=
– 3
1
a
A
r^2
a^2
3
2
cos^2
–
1
2
.
Здесь
=
5
4
A
a
3
2
cos^2
–
1
2
.
Если полное число витков равно N. то число витков, укладывающихся между полюсом и полярным углом , будет 1/2 Nsin^2.
Плотнее всего витки расположены на широте 45°. На экваторе направление намотки меняется, и в другой полусфере витки имеют противоположное направление.
Пусть есть сила тока в проводе, тогда внутри оболочки