Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
=-
4
5
N
r^2
a^2
3
2
cos^2
–
1
2
.
Рассмотрим теперь проводник в форме плоской замкнутой кривой, расположенный в произвольном месте внутри оболочки в плоскости, перпендикулярной её оси. Для определения коэффициента индукции проводника мы должны найти Поверхностный интеграл от -d/dz по плоской площадке, ограниченной этой кривой, положив =1.
В этом случае
=-
4
5a^2
N
z^2
–
1
2
(x^2+y^2)
и
–
d
dz
=
8
5a^2
N
·
z
.
Следовательно,
M
=
8
5a^2
NSz
.
Если ток в этом проводнике равен ', то, согласно п. 583, должна существовать сила Z, действующая на проводник в направлении z, равная
Z
=
'
dM
dz
=
8
5a^2
NS
'
,
и, поскольку это выражение не зависит от x, y, z, сила оказывается одной и той же, в какую бы часть оболочки ни был помещён данный контур.
674. Метод, предложенный Пуассоном и описанный в п. 437, может быть применён к токовым листам, если вместо тела, которое предполагается однородно намагниченным в z-направлении с интенсивностью I, взять токовый лист, имеющий форму поверхности тела и обладающий функцией тока, равной
=
Iz
.
(1)
Токи, текущие по листу, расположены в плоскости, параллельной плоскости xy сила тока, циркулирующего по срезу толщиной dz, равна Idz.
В любой точке вне токового листа магнитный потенциал, обусловленный им, равен
=-
I
dV
dz
,
(2)
где V - потенциал, создаваемый листом с единичной поверхностной плотностью. В произвольной точке внутри оболочки потенциал равен
=-
4Iz
–
I
dV
dz
.
(3)
Составляющие вектор-потенциала равны
F
=
I
dV
dy
,
G
=-
I
dV
dx
,
H
=
0,
(4)
Эти результаты могут быть применены к различным случаям, возникающим на практике.
675. (1). Плоский электрический контур произвольной формы.
Пусть V есть потенциал, создаваемый плоским листом произвольной формы, имеющим единичную поверхностную плотность; тогда, если этот лист заменить либо на магнитную оболочку мощности I, либо на электрический ток силы I, текущий по её границе, величины , и F, G, H будут иметь значения, приведённые выше.
(2).
V
=
4
3
a^3
r
,
когда
r
больше
a
,
(5)
и
V
=
2
3
(3a^2-r^2)
,
когда
r
меньше
a
.
(6)
Следовательно, если такой шар намагничен параллельно направлению z с интенсивностью I, то магнитный потенциал равен
=
4
3
I
a^3
r^3
z
вне шара
(7)
и
=
4
3
Iz
внутри шара.
(8)
Если вместо намагничивания обмотать шар эквидистантно расположенными круговыми витками с током так, чтобы суммарная сила тока между двумя малыми окружностями, плоскости которых находятся на единичном расстоянии друг от друга, была I, то вне шара значения остаётся прежним, а внутри станет равным
=-
8
3
Iz
.
(9)
Этот случай уже обсуждался в п. 672.
(3). Случай эллипсоида, однородно намагниченного параллельно некоторой заданной линии, тоже уже обсуждался в п. 437.
Если эллипсоид обмотан проводом по параллельным и эквидистантным плоскостям, то магнитная сила внутри него будет однородной.
(4). Цилиндрический магнит или соленоид
676. Если тело представляет собой цилиндр с сечением произвольной формы, ограниченный плоскостями, перпендикулярными его образующим, и если V является потенциалом, создаваемым в точке (x,y,z) плоской площадкой, совпадающей с положительным торцом соленоида и несущей единичную поверхностную плотность, а V - потенциалом, создаваемым в той же самой точке плоской площадкой, совпадающей с отрицательным торцом соленоида и тоже несущей единичную поверхностную плотность, то потенциал цилиндра, однородно и продольно намагниченного с единичной интенсивностью, создаваемый в точке (x,y,z), будет равен
=
V
–
V
.
(10)
Если вместо намагниченного цилиндра взять цилиндр, равномерно обмотанный проводом с n витками на единицу его длины и пустить по проводу ток , то магнитный потенциал вне соленоида будет, как и прежде, равен
=
n(
V
–
V
),
(11)
а внутри области, ограниченной соленоидом и его плоскими торцами,
=