Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2., Максвелл Джеймс Клерк

Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

на обложку

Максвелл Джеймс Клерк

Шрифт:

Теория вращающегося диска Араго

668. Араго открыл 2 , что на магнит, помещённый вблизи вращающегося металлического диска, действует сила, стремящаяся заставить его следовать за движением диска, хотя в случае, когда диск покоится, взаимодействие между ним и магнитом отсутствует. Это действие вращающегося диска сначала относили даже к некоему новому виду намагниченности, пока Фарадей 3 не объяснил его при помощи электрических токов, индуцируемых в диске при его движении в поле магнитной силы.

2Annales de Chimie et de Physique, Tome 32, p. 213-223, 1826.

3Exp. Res., 81.

Для

того чтобы определить эти индуцированные токи, а также их воздействие на магнит, мы могли бы воспользоваться результатами, уже полученными нами для покоящегося проводящего листа, находящегося под действием движущегося магнита, и применить приведённый в п. 600 метод рассмотрения электромагнитных уравнений в движущейся системе осей координат. Однако, поскольку этот случай особо важен, мы прибегнем к прямому решению задачи, начав с предположения о том, что полюса магнита достаточно удалены от края диска и можно пренебречь влиянием ограниченности проводящего листа.

Используя те же обозначения, что и в предыдущих параграфах (п. 656-667), для составляющих электрической силы, параллельных соответственно осям x и y, находим

–

(1)

где есть составляющая магнитной силы, нормальная к диску.

Если выразить теперь u и v через функцию тока , то

–

(2)

и, если диск вращается с угловой скоростью вокруг оси z,

– y

(3)

Подставляя эти величины в уравнения (1), находим

–

(4)

–

(5)

Умножая (4) на x, а (5) на y, а затем складывая результаты, получаем

–

(x^2+y^2)

–

(6)

Умножая (4) на y, а (5) на -x и затем складывая результаты, получаем

–

(7)

Если

выразить теперь эти уравнения через r и , где

rcos

rsin

(9)

то они примут вид

r^2

–

(9)

(10)

Уравнение (10) удовлетворяется, если мы возьмём произвольную функцию от r и , положив

(11)

(12)

После подстановки этих выражений в уравнение (9) оно принимает вид

d^2

r^2

(13)

Разделив (13) на r^2 и восстанавливая координаты x и y, приходим к уравнению

d^2

dx^2

d^2

dy^2

(14)

Это основополагающее уравнение теории: оно выражает связь между функцией и нормальной к диску составляющей магнитной силы .

Пусть Q - потенциал в какой-либо точке с положительной стороны диска, обусловленный воображаемой притягивающей материей, распределённой по диску с поверхностной плотностью .

На положительной стороне диска

– 2

(15)

Поэтому левая часть уравнения (14) преобразуется к виду

d^2

dx^2

d^2

dy^2

d^2Q

dx^2

d^2Q

dy^2