Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Максвелл Джеймс Клерк

dy

+

dC

dz

=

0,

где A, B, C - составляющие намагниченности в произвольной точке магнита.

408. Продольно намагниченную нить, мощность которой различна на разных участках её длины, можно считать изготовленной из пучка соленоидов различной длины; при этом сумма мощностей всех соленоидов, проходящих через данное сечение нити, является магнитной мощностью нити в этом сечении. Поэтому любую продольно намагниченную нить можно назвать Сложным Соленоидом.

Если мощность сложного

соленоида в произвольном сечении равна m, то потенциал, обусловленный его действием, равен

V

=

–

m

r^2

dr

ds

ds

,

где

m

– переменная величина,

=

m₁

r₁

–

m₂

r₂

–

1

r

dm

ds

ds

.

Отсюда видно, что кроме действия двух концов, которые в этом случае могут иметь разные мощности, появляется ещё и действие, связанное с распределением воображаемой магнитной материи вдоль нити с линейной плотностью:

=

dm

ds

.

Магнитные оболочки

409. Если тонкая оболочка магнитного вещества намагничена повсюду в направлении, нормальном к её поверхности, то произведение интенсивности намагниченности в произвольном месте на толщину плёнки в том же месте называется Мощностью магнитной оболочки в этом месте.

Если мощность оболочки повсюду одинакова, то она называется Простой магнитной оболочкой; если же мощность меняется от точки к точке, то такую оболочку можно считать составленной из нескольких наложенных друг на друга перекрывающихся простых оболочек. Поэтому она называется Сложной магнитной оболочкой.

Пусть dS является элементом поверхности оболочки мощности , находящимся в точке Q; тогда потенциал в произвольной точке P, обусловленный этим элементом, равен

dV

=

1

r^2

dS

cos

,

где - угол между вектором QP (или r) и внешней нормалью, выходящей из положительной стороны оболочки.

Но если d есть телесный угол с вершиной в точке P, опирающийся на элемент dS, то r^2d=dS cos , отсюда dV=d, и, следовательно, в случае простой магнитной оболочки имеем V=, или потенциал в произвольной точке, обусловленный магнитной оболочкой, равен произведению её мощности на телесный угол с вершиной в этой точке, опирающийся на край оболочки ².

² Этой теоремой мы обязаны Гауссу,- General Theory of Terrestrial Magnetism, § 38.

410. Этот же результат можно

получить другим путём, предположив, что магнитная оболочка помещена в произвольное поле магнитной силы, и определив потенциальную энергию, связанную с положением оболочки.

Если V - потенциал на элементе dS, то энергия, связанная с этим элементом, равна

l

dV

dx

+

m

dV

dy

+

n

dV

dz

dS

,

или произведению мощности оболочки на часть поверхностного интеграла от dV/d, связанную с элементом dS оболочки.

Следовательно, интегрируя по всем таким элементам, мы получим, что энергия, обусловленная положением оболочки в поле, равна произведению мощности оболочки на поверхностный интеграл от магнитной индукции, взятый по поверхности оболочки.

Так как для любых двух поверхностей, имеющих одну и ту же границу и не содержащих между собой какого-нибудь центра силы, поверхностный интеграл одинаков, то действие магнитной оболочки зависит только от формы её границы.

Предположим теперь, что поле силы создаётся магнитным полюсом мощности m. Мы уже видели (п. 76), что поверхностный интеграл по поверхности, ограниченной заданной кривой, равен произведению мощности полюса на телесный угол с вершиной в точке полюса, опирающийся на эту границу. Поэтому энергия взаимодействия полюса и оболочки равна m, а это, по теореме Грина, равно произведению мощности полюса на потенциал, обусловленный оболочкой в точке полюса. Таким образом, потенциал обусловленный оболочкой, равен .

411. Если магнитный полюс m из точки, находящейся на отрицательной стороне поверхности, начинает перемещаться по произвольному пути в пространстве и, обогнув край оболочки, возвращается в точку близкую к начальной, но уже находящуюся на положительной стороне оболочки, то телесный угол будет непрерывно меняться и возрастёт в процессе обхода на 4. Работа, совершенная полюсом, окажется равной 4m, а потенциал в произвольной точке на положительной стороне оболочки будет превышать потенциал в соседней к ней точке, находящейся на отрицательной стороне, на величину 4.

Если магнитная оболочка образует замкнутую поверхность, потенциал вне её всюду равен нулю, а в пространстве внутри неё - всюду равен 4, будучи положительным, когда оболочка обращена внутрь положительной стороной. Следовательно, такая оболочка не оказывает действия на магнит, помещённый внутри неё или снаружи.

412. Если магнит можно разделить на простые магнитные оболочки, либо замкнутые, либо выходящие своими краями на поверхность магнита, то распределение магнетизма называется Слоистым (ламеллярным). Если - сумма мощностей всех оболочек, пересекаемых движущейся точкой при её перемещении по линии, расположенной внутри магнита, от заданной точки до точки (x,y,z), то условия ламеллярности таковы: A=d/dx, B=d/dy, C=d/dz.