Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2., Максвелл Джеймс Клерк

Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

на обложку

Максвелл Джеймс Клерк

Шрифт:

–

r^2

d^2r

dsd

(5)

Третье

выражение для через прямоугольные координаты можно вывести, исходя из того соображения, что объём пирамиды с телесным углом d и стороной r равен

r^3

Но объём этой же пирамиды можно выразить также через проекции r, ds и d на оси x, y, и z он равен одной трети детерминанта, образованного из этих девяти проекций. Таким образом, для значения находим

– x,

– y,

– z,

–

r^3

(6)

Это выражение даёт значение , лишённое неоднозначности в выборе знака, внесённой уравнением (5).

421. Теперь для телесного угла с вершиной в точке P, опирающегося на замкнутую кривую, можно записать

(7)

где интегрирование по s производится по всей замкнутой кривой, а по - от некоторой фиксированной точки A до точки P. Константа 0 равна значению телесного угла в точке A. Она обращается в нуль, если точка A находится на бесконечном расстоянии от замкнутой кривой.

Значение в произвольной точке P не зависит от формы кривой между точками A и P при условии, что эта кривая не проходит через саму магнитную оболочку. Если оболочка предполагается бесконечно тонкой, а точки P и P' расположенными рядом, но P - на положительной стороне оболочки, а P' - на отрицательной, то кривые AP и AP' должны лежать по разные стороны от края оболочки, так что линия PAP' вместе с бесконечно короткой линией PP' образует замкнутый контур, охватывающий край оболочки. Значение в точке P превышает значение в точке P' на 4, т.е. на величину поверхности сферы единичного радиуса.

Поэтому, если замкнутая кривая проведена так, что она проходит сквозь оболочку один раз, или, другими словами, является однократно сцепленной с её краем, то значение интеграла dsd, взятого по обеим замкнутым кривым, равно 4.

Следовательно, этот интеграл, зависящий только от замкнутой кривой s и произвольной кривой AP, является примером многозначной функции, так как, если переходить из A в P различными путями, интеграл будет принимать различные значения в соответствии с тем, сколько раз кривая AP обернётся вокруг кривой s.

Если одна кривая между точками A и P может быть трансформирована в другую непрерывным её перемещением

без пересечения кривой s, то интеграл будет иметь одинаковые значения для обеих кривых; если же в процессе трансформации она пересечёт замкнутую кривую n раз, значения интеграла будут отличаться на 4n.

Таким образом, для двух произвольных замкнутых в пространстве кривых s и , не сцепленных друг с другом, интеграл, взятый однократно по обеим кривым, равен нулю.

Если же кривые охватывают друг друга n раз в одном и том же направлении, значение интеграла равно 4n. Возможно, однако, что две кривые охватывают друг друга попеременно в противоположных направлениях, оставаясь неразделимо сцепленными друг с другом при равном нулю значении интеграла, см. рис. 4.

Рис. 4

Открытие Гауссом этого интеграла, выражающего работу, совершаемую магнитным полюсом при его движении по замкнутой кривой в присутствии замкнутого электрического тока, и характеризующего геометрическую связанность двух замкнутых кривых, побудило его сетовать на слабое развитие Геометрии Положений (топологии) со времён Лейбница, Эйлера и Вандермонда. Сейчас, однако, мы уже можем говорить о некотором прогрессе, обязанном Риману, Гельмгольцу и Листингу.

422. Исследуем теперь результат интегрирования по s вдоль замкнутой кривой.

Один из членов, определяющих в уравнении (7), равен

–

– x

r^3