Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
Сила H возникает частично благодаря действию магнитов, внешних по отношению к телу, намагничиваемому по индукции, а частично благодаря индуцированной намагниченности самого этого тела. И обе эти составляющие удовлетворяют условию существования потенциала.
427. Пусть V является потенциалом, обусловленным внешним относительно тела магнетизмом, а - потенциалом, связанным с индуцированной намагниченностью, тогда если U есть истинный потенциал, обусловленный обеими этими причинами, то
U
=
V
+
.
(2)
Пусть
A
=
,
B
=
,
C
=
.
(3)
Умножив эти уравнения соответственно на dx, dy, dz и сложив, найдём
Adx
+
Bdy
+
Cdz
=
(
dx
+
dy
+
dz
).
Но, поскольку , и получаются из потенциала U, мы можем записать второй член как -dU.
Следовательно, если коэффициент всюду внутри вещества постоянен, то первый член также должен быть полным дифференциалом некоторой функции x, y и z, которую мы назовём , после чего уравнение принимает вид
d
=
– dU
.
(4)
где
A
=
d
dx
,
B
=
d
dy
,
C
=
d
dz
.
(5)
Следовательно, по определению, принятому в п. 412, намагниченность является ламеллярной.
В п. 385 было показано, что объёмная плотность свободного магнетизма равна
=-
dA
dx
+
dB
dy
+
dC
dz
,
или с учётом уравнений (3)
=
–
d
dx
+
d
dy
+
d
dz
.
Но из п. 77
d
dx
+
d
dy
+
d
dz
=
– 4
.
Поэтому (1+4)=0, откуда следует, что
=
0
.
(6)
внутри всего вещества, и поэтому намагниченность оказывается и соленоидальной, и ламеллярной, см. п. 407.
Таким образом, свободного магнетизма нет нигде, кроме поверхности, ограничивающей тело. Если обозначить через нормаль, проведённую внутрь от поверхности, то магнитная поверхностная плотность будет равна
=
d
d
.
(7)
Поэтому потенциал в произвольной точке, создаваемый
=
r
dS
.
(8)
Значения всюду конечны, непрерывны и удовлетворяют уравнению Лапласа в каждой точке внутри и вне поверхности. Если пометить штрихом потенциал вне поверхности и обозначить через ' нормаль, проведённую наружу, то на поверхности будем иметь
'
=
;
(9)
d
d
+
d'
d'
=
– 4
(см. п. 78б),
=
4
d
d
(см. (7)),
=
– 4
dU
d
(см. (4)),
=
– 4
dV
d
+
d
d
(см. (2)).
Таким образом, мы можем записать второе условие на поверхности:
(
1
+
4
)
d
d
+
d'
d'
+
4
dV
d
=
0.
(10)
Итак, определение магнетизма, индуцированного в однородном изотропном ограниченном поверхностью S теле, находящемся под действием внешних магнитных сил, потенциал которых равен V, может быть сведено к следующей математической задаче.
Мы должны найти две функции и ', удовлетворяющие следующим условиям.
Внутри поверхности S функция должна быть конечной, непрерывной и должна удовлетворять уравнению Лапласа.
Вне поверхности S должна быть конечной и непрерывной, она должна обращаться в нуль при бесконечном удалении от S и удовлетворять уравнению Лапласа.
В каждой точке самой поверхности должно выполняться равенство =', а производные от функции , ' и V по нормали должны удовлетворять уравнению (10).
Такой подход к формулировке задачи об индуцированном магнетизме принадлежит Пуассону. Величина k, которую он использует в своих трудах, отличается от величины - они связаны между собой следующим соотношением:
4
(k-1)
+
3k
=
0.
(11)
Коэффициент , который мы здесь использовали, был введён Ф. Е. Нейманом.
428. Проблему индуцированного магнетизма можно рассматривать и другим способом, введя величину, которую мы, следуя Фарадею, назвали Магнитной Индукцией.
Связь между магнитной индукцией B, магнитной силой H и намагниченностью J выражается уравнением
B
=