Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
Таким образом, мы нашли способ нахождения решения задачи Грина для заряда, находящегося в любой точке внутри замкнутой кривой, если известно решение для какой-либо другой точки.
Заряд на элементе кривой 0 между точками и +d наводимый зарядом E, помещённым в точку (1,1) равен в обозначениях п. 183
–
1
4
d
ds1
ds
2
,
где ds1 отсчитывается
Согласно (4) из п. 183, это равно
1
4
d
d
d
,
(=
0
); т.е.
–
E
2
1-e2(1– 0)
1-2e(1– 0)cos(-1)+e2(1– 0)
d.
(15)
Это выражение позволяет найти потенциал в произвольной точке (1,1) внутри замкнутой кривой, если в каждой точке этой кривой потенциал задан как функция при условии, что внутри замкнутой кривой нет зарядов.
Действительно, согласно п. 86, часть потенциала в точке (1,1), обусловленная наличием потенциала V на участке d замкнутой кривой, равна nV, где n - заряд, наводимый на d единичным зарядом в (1,1). Таким образом, если V - потенциал в точке замкнутой кривой, заданный как функция , а - потенциал в точке (1,1) внутри замкнутой кривой, не содержащей внутри зарядов, то
=
1
2
2
0
(1-e2(1– 0))Vd
1-2e(1– 0)cos(-1)+e2(1– 0)
.
(16)
Примep IV. Распределение электричества у ребра проводника, образуемого двумя плоскими гранями
191. В случае, когда границей проводника является бесконечная плоскость y=0, проводник расположен со стороны отрицательных y и поверхностная плотность заряда равна 0, потенциал на расстоянии y от плоскости равен V=C-40y, где C - значение потенциала на самом проводнике.
Примем некоторую прямую, лежащую в плоскости, за полярную ось и преобразуем это выражение к полярным координатам. Тогда потенциал представится в виде V=C-40esin , а количество электричества на параллелограмме единичной ширины и длины ae измеряемой вдоль оси, будет равно E=0ae.
Положим теперь =n' и =n'. Поскольку ' и ' сопряжены и , уравнения
V
=
C
–
4
0
e
n'
sin n'
и
E
=
0
ae
n'
.
дают
Заменим ae' на r, где r - расстояние от оси, и переобозначим угол ' через . Тогда получим
V
=
C
–
4
0
rn
an-1
sin n
,
E
=
0
rn
an-1
.
V равно C при n равном или кратном .
Пусть ребро представляет собой выступающий угол проводника с раствором между гранями, тогда угол области диэлектрика равен 2-, так что при =2- точка находится на второй грани проводника.
Поэтому мы должны положить n(2-)= или n=/(2-). Тогда
V
=
C
–
4
0
a
r
a
2-
sin
2-
,
E
=
0
a
r
a
2-
.
Поверхностная плотность на произвольном расстоянии r от ребра равна
=
dE
dr
=
2-
0
r
a
–
2-
.
Если угол выступающий, то меньше и плотность заряда меняется обратно пропорционально некоторой степени расстояния от ребра, так что на самом ребре плотность становится бесконечной, хотя полный заряд на любом конечном расстоянии от ребра всегда конечен.
Так, при =0 ребро бесконечно острое, как край математической плоскости. В этом случае плотность меняется обратно пропорционально квадратному корню из расстояния от края.
При =/3 ребро такое, как у равносторонней призмы, а плотность меняется обратно расстоянию в степени 2/5.
При =/2 угол у ребра прямой, а плотность обратно пропорциональна корню кубическому из расстояния.
При =2/3 ребро подобно ребру правильной шестигранной призмы, а плотность обратно пропорциональна корню четвёртой степени из расстояния.
При = ребро исчезает и плотность постоянна.
При =4/3 угол у ребра равен внешнему углу шестигранной призмы, а плотность прямо пропорциональна корню четвёртой степени из расстояния от ребра.
При =3/2 ребро представляет собой входящий прямой угол, а плотность прямо пропорциональна расстоянию от ребра.
При =5/3 у ребра входящий угол 60°, а плотность пропорциональна квадрату, расстояния от ребра.
В действительности, во всех случаях, когда плотность становится бесконечной в какой-либо точке, имеет место электрический разряд в диэлектрик в этой точке, как было пояснено в п. 55.