Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
Пример V. Эллипсы и гиперболы. Рис. X
192. Мы знаем, что, если положить
x
1
=
e
cos
,
y
1
=
e
sin
,
(1)
то x1 и y1 будут сопряжёнными функциями от и . Точно так же, если
x
2
=
e
–
cos
,
y
2
=
e
–
sin
,
(2)
то x2
2x
=
x
1
+x
2
=
(e
+e
–
)cos
,
2y
=
y
1
+y
2
=
(e
+e
–
)sin
,
(3)
то x и y также будут сопряжёнными функциями от и . В этом случае точки с постоянным лежат на эллипсе с осями e+e– и e– e– . Точки, для которых постоянно , лежат на гиперболе с осями 2 cos и 2 sin. На оси x между x-1 и x+1 имеем
=0, =arccos x
.
(4)
Вне этих пределов с обеих сторон на оси
x>1
,
=
2n
,
=
ln(x+
x^2-1
)
,
x<-1
,
=
(2n+1)
,
=
ln(
x^2-1
– x)
.
(5)
Таким образом, считая потенциальной функцией, а - функцией потока, мы приходим к случаю потока электричества с положительной стороны оси x на отрицательную через промежуток между точками -1 и +1, причём участки оси вне этих пределов непроницаемы для электричества.
Поскольку ось y в этом случае является линией потока, мы можем её также считать непроницаемой для электричества.
Мы можем рассматривать также эллипсы как сечения эквипотенциальных поверхностей для бесконечно длинного плоского проводника ширины 2, заряженного половиной единицы электричества на единицу длины. (Учитывается заряд с обеих сторон плоского проводника.)
Если считать потенциальной функцией, а - функцией потока, то мы приходим к случаю бесконечной плоскости, в которой вырезана полоса шириной 2 и у которой одна сторона заряжена до потенциала , а вторая остаётся под нулевым потенциалом.
Эти задачи можно считать частными случаями поверхностей второго порядка, рассмотренных в главе X. Форма кривых показана на рис. X [в конце книги].
Пример VI. Рис. XI
193. Пусть теперь x' и y' - функции от x и y, причём
x'
=
b ln
x^2+y^2
,
y'
=
b arctg
y
x
,
Тогда x'
Если x' и y' - прямоугольные координаты, то свойства оси x на первой фигуре переносятся на последовательность кривых, параллельных x', на второй фигуре, для которых y'=bn', где n' - произвольное целое число. Положительные значения x' на этих кривых будут соответствовать значениям x, большим единицы, для которых, как мы уже видели,
=
n
,
=
ln(x+
x^2-1
)
=
ln(e
x'/b
+
e
(2x'/b)
– 1
)
.
(7)
Отрицательные значения x' на тех же кривых будут соответствовать значениям x, меньшим единицы, для которых, как мы видели,
=
0,
=
arccos x
=
arccos e
(x'/b)
.
(8)
Свойства оси y на первой фигуре переносятся на последовательность кривых на второй фигуре, параллельных x', для которых
y'
=
b(n'+ 1/2 )
.
(9)
На этих кривых =(n+ 1/2 ) для всех точек, как положительных, так и отрицательных, а
=
ln(y+
y^2+1
)
=
ln(e
(x'/b)
+
e
(2x'/b)
+1
)
.
(10)
Кривые, для которых и - постоянны, можно усмотреть непосредственно из уравнений
x'
=
1
2
b ln
1
4
(
e
2
+
e
– 2
2cos 2
,
y'
=
b arctg
e– e–
e+e–
tg
.
Поскольку фигура повторяется через интервалы b по y', достаточно рассмотреть кривые для одного такого интервала.
Следует различать два случая, в зависимости от того, какая из двух функций, или , меняет знак вместе с y'. Предположим, что знак меняет функция . Тогда любая кривая, для которой постоянно, будет симметрична относительно оси x' и ортогонально пересекать эту ось в некоторой точке отрицательной полуоси x'. Если начать с этой точки, для которой =0, и постепенно увеличивать , то кривая будет постепенно изгибаться от первоначально ортогонального к оси до почти параллельного (при больших ) направления. Положительная полуось x' принадлежит к системе =const, а именно на ней равно нулю, а при y'=±b/2 =/2. Таким образом, кривые, для которых имеет постоянное значение между 0 и /2, образуют систему кривых, охватывающих положительную полуось x'.