Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
При этом пластина будет иметь почти постоянную толщину =2b' вдали от границы и закругление у края.
Истинное положение края пластины можно найти, положив y'=0 откуда
x'
=
b ln cos '
.
(17)
Значение на этом краю равно 0, а в точке, для которой x'=a (a/b велико), оно приблизительно равно (a+b ln 2)/b.
Таким образом, общее количество электричества на пластине таково, как если бы к ней добавлялась полоса шириной
B
ln 2
+
ln cos
2B
,
B
2 cos
2B
,
(18)
а плотность была бы всюду постоянной и равной плотности вдали от границы.
Плотность у края
Поверхностная плотность в любой точке пластины равна
1
4
d
dx'
=
1
4b
ex'/b
e2x'/b– 1
=
1
4b
1
+
1
2
e
– 2x'/b
+
3
8
e
– 4x'/b
+…
.
(19)
Величина в скобках быстро приближается к единице с ростом x', так что на расстоянии от границы, превышающем в n раз ширину полосы , истинная плотность превышает нормальную примерно на 1/(22n+1) от нормальной плотности.
Аналогично можно найти плотность на бесконечных пластинах
=
1
4b
ex'/b
e2x'/b+1
(20)
При x'=0 плотность составляет 2– 1/2 от нормальной плотности.
В сторону положительных x' на расстоянии от границы, превышающем в n раз ширину граничной полосы, плотность меньше нормальной примерно на 1/(22n+1) от нормальной плотности. На таком же расстоянии в сторону отрицательных x' плотность составляет примерно 2– n от нормальной плотности.
Эти результаты позволяют судить о степени точности, на которую можно рассчитывать при применении этих методов к пластинам ограниченных размеров или при наличии нерегулярностей недалёко от границы. Такое же распределение имело бы место и в случае бесконечной последовательности одинаковых пластин на равных расстояниях друг от друга, потенциалы которых попеременно равны +V и -V. В этом случае расстояние между пластинами следует принять равным B.
197. (2) Второй случай, который мы рассмотрим,- это случай бесконечной совокупности плоскостей параллельных x'z, отстоящих друг от друга на расстояние B=b и ограничиваемых плоскостью y'z, так что они расположены лишь с отрицательной стороны от этой плоскости. Если считать потенциальной функцией, то эти плоскости можно рассматривать как проводники под нулевым потенциалом.
Рассмотрим кривые постоянного .
При y'=nb, т.е. на продолжении каждой плоскости,
x'
=
b ln 1/2
(e
+e
–
)
.
(21)
При y'=(n+ 1/2 )b,
x'
=
b ln 1/2
(e
– e
–
)
.
(22)
Таким образом, при больших кривая постоянного имеет волнообразный характер.
Среднее её расстояние от оси y' приблизительно равно
a
=
b
(-ln 2)
,
(23)
а амплитуда колебаний по обе стороны от этой прямой равна
1/2 b ln
e+e–
e– e–
.
(24)
При больших эта величина стремится к be– 2, так что кривая приближается к прямой линии, параллельной оси y' и находящейся на расстоянии a от этой оси с положительной стороны.
Если принять, что плоскость x'=a поддерживается под постоянным потенциалом, а система параллельных плоскостей - под другим потенциалом, то, поскольку b=a+b ln 2, поверхностная плотность электричества, наведённого на плоскости, такая же, как при помещении плоскости, параллельной данной, при потенциале, равном потенциалу последовательности плоскостей, на расстоянии, превышающем расстояние до краёв плоскостей на b ln 2.
Если B - расстояние между двумя плоскостями бесконечной последовательности, B=b, то дополнительное расстояние равно
=
B
ln 2
(25)
198. Рассмотрим теперь объём, заключённый между двумя эквипотенциальными поверхностями, одна из которых состоит из последовательности параллельных волн, а вторая соответствует большим значениям и может приближённо считаться плоской.
Если D - глубина этих колебаний, измеряемая от вершины до впадины каждой волны, то для соответствующего значения получим
=
1
2
eD/b+1
eD/b+1
.
(26)
Значение x' в вершине волны равно
b ln
1
2
(e
+e
–
)
.
(27)
Таким образом 2, если A - расстояние от вершин волн до противолежащей плоскости, то ёмкость системы, состоящей из плоской поверхности, и волнообразной поверхности такая же, как для двух плоскостей, находящихся на расстоянии A+', где