Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
'
=
B
ln
2
1+e– D/B
(28)
2 Пусть - потенциал плоскости, а - потенциал волнообразной поверхности. Количество электричества на плоскости, приходящееся на единицу площади, равно 1/4 b. Следовательно, ёмкость =1/4 b(-), 1/4 (A+) (по предположению). Таким образом, A+=b(-) Но A+b ln
e+e–
2 = b(-ln 2) . Следовательно, = -b + b ( ln 2 + ln
1
2 (e+e– ) ) = b ln (1+e– 2) = b ln
2
1+eD/b ,
199. Если в проводнике с плоской поверхностью проделана отдельная канавка такой формы, а другой проводник представляет собой плоскую поверхность на расстоянии A то ёмкость одного проводника по отношении к другому при этом уменьшается. Уменьшение ёмкости не превышает (1/n)-й части уменьшения, вызываемого n такими рядом расположенными канавками, потому что в последнем случае средняя электрическая сила между проводниками будет меньше, чем в. первом, так что индукция на поверхности каждой канавки будет уменьшена за счёт соседних канавок.
Пусть L - длина, B - ширина, D - глубина канавки. Ёмкость участка противостоящей плоскости площади S будет равна
S-LB
4A
+
LB
4(A+')
=
S
4A
–
LB
4A
'
A+'
.
(29)
При A много больше B или поправка, согласно (28), принимает вид
L
4^2
B^2
A^2
ln
2
1+e– D/B
(30)
а для щели бесконечной глубины, полагая D=, получим
L
4^2
B^2
A^2
ln 2
.
(31)
Чтобы найти поверхностную плотность на семействе параллельных пластин, нужно определить
=
1
4
d
dx'
при =0. Расчёт даёт
=
1
e– 2x'/b– 1
.
(32)
Средняя плотность на плоской пластине, находящейся на расстоянии A от краёв семейства пластин, равна =1/(4b) Следовательно, на расстоянии n от края каждой пластины поверхностная плотность равна (22n– 1)– 1/2 от этой средней плотности.
200. Попытаемся теперь вывести из наших результатов распределение электричества в конфигурации в виде семейства коаксиальных цилиндров перед плоскостью, образуемой вращением двумерной системы из п. 197 вокруг оси y'=R. В этом случае уравнение Пуассона примет вид
d^2V
dx'^2
+
d^2V
dy'^2
+
1
R+y'
dV
dy'
+
4
=
0.
(33)
Примем,
=-
1
4
1
R+y'
d
dy'
.
(34)
Если предположить, что, кроме уже рассмотренной ранее поверхностной плотности, имеет место объёмное распределение электричества по установленному выше закону, то распределение потенциала будет даваться кривыми на рис. XI.
Но из рис. XI видно, что d/dy' очень мало, за исключением областей вблизи границ пластин, так что это новое распределение можно приблизительно представить некоторым поверхностным распределением электричества у краёв пластин.
Если, следовательно, вычислить интеграл dx'dy' от y'=0 до y'=b/2 и от x'=- до x'=+, то можно найти полный дополнительный заряд на одной стороне пластин, обусловленный кривизной.
Поскольку
d
dy'
=
–
d
dx'
,
то
–
dx'
=
–
1
4
1
R+y'
d
dx'
=
1
4
1
R+y'
(
–
–
)
=
=
1
8
1
R+y'
2
y'
B
– 1
.
(35)
Интегрируя по y', получим
B/2
0
–
dx'dy'
=
1
8
–
1
8
2R+B
B
ln
2R+B
2R
,
(36)
=-
1
32
B
R
+
1
192
B^2
R^2
+
….
(37)
Это выражение даёт половину полного количества электричества, приходящегося на единицу длины, которое мы должны считать распределённым в пространстве вблизи края одного из цилиндров. Поскольку эта объёмная плотность заметна лишь вблизи края пластины, мы можем считать всё электричество сосредоточенным на поверхности пластины, не изменив при этом заметным образом его воздействие на противолежащую плоскую поверхность. При расчёте притяжения этой поверхности к цилиндрической поверхности мы можем считать это электричество расположенным на цилиндрической поверхности.