Трактат об электричестве и магнетизме

Максвелл Джеймс Клерк

Если бы никакой кривизны не было, то избыточный заряд на положительной стороне пластины, приходящийся на единицу длины, был бы равен

–

0

–

1

4

d

dy'

dx'

=

1

4

(

₀

–

_–

)

=-

1

8

.

Следовательно, при добавлении сюда полного найденного выше распределения этот заряд следует умножить на

множитель 1+(B/2R), чтобы получить полный заряд на положительной стороне.

Для диска радиуса R, помещённого между двумя параллельными плоскостями на расстоянии B, мы получим следующее выражение для ёмкости диска:

B^2

R

+2

ln 2

R

+

1

2

B.

(38)

Теория томсоновского защитного кольца

201. В некоторых электрометрах Сэра У. Томсона большая плоская поверхность (большой диск) поддерживается под некоторым потенциалом, а на расстоянии A от этой поверхности помещён плоский диск радиуса R, окружённый большой плоской пластиной, называемой Защитным кольцом, в которой имеется круглое отверстие радиуса R', концентрическое диску. Этот диск и пластина поддерживаются под нулевым потенциалом.

Промежуток между диском и защитной пластиной можно рассматривать как круглую канавку бесконечной глубины и ширины R'-R, которую мы обозначим через B.

Заряд на диске, обусловленный единичным потенциалом большого диска, будет в предположении однородной плотности равен R^2/4A

Заряд с одной стороны прямолинейной канавки ширины B, длины L=2R и бесконечной глубины может быть оценён по числу силовых линий, исходящих из большого диска и попадающих на эту сторону канавки. Таким образом, согласно п. 198 и примечанию, заряд равен

1

2

LB

x

1

4b

, т.е.

1

4

RB

A+'

,

поскольку в этом случае =1, =0 и, следовательно, b=A+'.

Но так как канавка не прямолинейна, а имеет радиус кривизны R, то полученный результат следует умножить на 1+(A/2R).

Следовательно, полный заряд на диске равен

R^2

4A

+

1

4

RB

A+

1

+

B

2R

(39)

=

R^2+R'^2

8A

–

R'^2-R^2

8A

'

A+'

.

(40)

Величина ' не может быть больше, чем (B ln 2)/0,22B.

Если B мало по сравнению с A или R, то это выражение даёт достаточно хорошее приближение для заряда на диске, обусловленного единичной разницей потенциалов. Отношение A к R может быть при этом произвольным, но разность между радиусом большого диска или защитного кольца и радиусом R должна быть в несколько раз больше A.

Пример VII. Рис. XII

202. Гельмгольц в своём мемуаре о разрывном течении жидкости ³ указал на применение

некоторых формул, в которых координаты выражены как функции потенциала и сопряжённой ему функции.

³Monatsberichte der Konigl. Akad. der Wissenschaften zu Berlin, April 23, 1868, p. 215

Одна из его формул может быть применена к случаю заряженной пластины конечных размеров, расположенной параллельно заземлённой бесконечной плоской поверхности.

Поскольку x₁=A и y₁=A, а также x₂=Ae cos и y₂=Ae sin являются сопряжёнными функциями от и , то функции, получающиеся сложением x₁ и x₂, y₁ и y₂, тоже будут сопряжёнными. Поэтому, если x=A+Ae cos, y=A+Ae cos, то x и y сопряжены по отношению и , а и сопряжены по отношению к x и y.

Пусть теперь x и y - прямолинейные координаты, а k - потенциал. Тогда k сопряжено k (k - постоянная).

Положим = тогда y=A, x=A(-e). При изменении от - до 0 и затем от 0 до + x меняется от - до -A и от -A до -. Таким образом, эквипотенциальная поверхность, для которой =, представляет собой плоскость, параллельную xz, находящуюся на расстоянии b=A от начала координат и простирающуюся от x=- до x=-A.

Рассмотрим часть этой плоскости, простирающуюся от x=-(A+a) до x=-A и от z=0 до z=c, расположенную на расстоянии y=b=A от плоскости xz и находящуюся под потенциалом V=k=k.

Электрический заряд на рассмотренной части плоскости может быть найден по значениям в крайних её точках.

Таким образом, нам нужно определить из уравнения x=-(A+a)=A(-e). Для получается отрицательное значение ₁ и положительное значение ₂. На краю плоскости при x=-A. =0. Таким образом, заряд на одной стороне плоскости равен -ck₁/4, а на другой, ck₂/4. Оба эти заряда положительны, и их сумма равна ck(₂– ₁)/4.

Если считать, что a много больше A, то

₁

=

–

a

A

– 1

+exp

–

a

A

– 1

+exp

–

a

A

– 1

+exp

–

a

A

– 1…

,

₂

=

ln

a

A

+1+ln

a

A

+1+…

.

Если пренебречь экспоненциальным членом в ₁, то легко видеть, что заряд на отрицательной поверхности превышает заряд, который был бы при однородной поверхностной плотности, равной её значению вдали от границы, на величину заряда полосы шириной A=b/ с той же однородной поверхностной плотностью.