Трактат об электричестве и магнетизме

Максвелл Джеймс Клерк

,

(12)

4

₂

b

₁

+

b

₂

+

b₁b₂

=

–

V

₁

+

V

₂

1

+

b₁

–

V

b₁

.

(13)

Для

бесконечно тонких проволочек становится бесконечным, члены, где входит в знаменатель, исчезают, так что мы приходим к случаю двух параллельных пластин без всякой решётки.

Если решётка находится в металлическом контакте с одной из плоскостей, скажем с первой, то V=V₁ и правая часть уравнения для ₁ становится равной V₁– V₂. Следовательно, плотность ₁, наводимая на первой плоскости при наличии решётки, относится к значению плотности, которая наводилась бы при отсутствии решётки, и при второй плоскости, поддерживаемой при том же потенциале, как 1 к 1+[b₁b₂/{(b₁+b₂)}].

Мы пришли бы к той же величине уменьшения электрического влияния первой поверхности на вторую при наличии решётки, если бы считали, что решётка связана со второй поверхностью. Это ясно из того, что b₁ и b₂ входят в это выражение одинаково. Это непосредственно следует также из теоремы п. 88.

Индукция одной заряженной плоскости на другую через решётку получается такая же, что и при удалённой решётке, но на расстоянии между плоскостями, увеличенном с b₁+b₂ до b₁+b₂+(b₁b₂/).

Если обе плоскости находятся под нулевым потенциалом, а решётка заряжена до заданного потенциала, то количество электричества на ней относится к количеству электричества, которое индуцировалось бы на плоскости равной площади, помещённой в то же положение, как b₁b₂/[b₁b₂+(b₁+b₂)].

Эти результаты справедливы в предположении, что b₁ и b₂ много больше , а много больше c. Величина имеет размерность длины и может принимать любое значение. Она становится бесконечно большой при неограниченном уменьшении c.

Если положить c=a/2, то между проволочками решётки не будет никакого зазора, так что не будет никакой индукции через решётку. Поэтому должно было бы быть равным 0. Но формула (11) даёт в этом случае =-(a/2) ln 2=-0,11a, что, очевидно, неверно, так как решётка никогда не может привести к изменению знака индукции. Нетрудно, однако, в случае решётки и цилиндрических проволочек перейти к более высокому приближению. Я здесь только намечу основные этапы такого перехода.

Метод приближения

206. Поскольку проволоки имеют цилиндрическую форму и распределение электричества на каждой проволоке симметрично относительно диаметра

параллельного оси y, то подходящее разложение для потенциала имеет вид

V

=

C

₀

ln r

C

_i

r

ⁱ

cos i

,

(14)

где r - расстояние от оси проволочек, а - угол между r и y. Поскольку проволока является проводником, то при r равном радиусу проволоки V должно быть постоянно, и, следовательно, коэффициенты при всех косинусах дуг, кратных , должны обращаться в 0.

Перейдём для краткости к новым координатам , и т. д., так что

a

=

2x

,

a

=

2y

,

a

=

2r

,

a

=

2b

и т.д.,

(15)

и пусть

F

=

ln(

e

⁺

+

e

^{– (+)}

–

2cos

).

(16)

Тогда, положив

V

=

A

₀

F

+

A

₁

dF

d

+

A

₂

d^2F

d^2

+…,

(17)

мы можем, выбрав соответствующие значения коэффициентов A, представить любой потенциал, являющийся функцией от и cos и не обращающийся в бесконечность нигде, кроме +=0 и cos =1.

При =0 разложение F по и имеет вид

F

₀

=

2 ln

+

1

12

^2cos 2

–

1

1440

⁴

cos 4

+…

.

(18)

Для конечных значений разложение F имеет вид

F

=

+

2 ln(1-e

^–

)

+

1+e^–

1-e^–

cos

–

–

e^–

(1-e^– )^2

^2 cos 2

+…

.

(19)

В случае решётки с двумя проводящими плоскостями, уравнения которых =₁ и =-₂, а уравнение плоскости решётки =0, получатся два бесконечных ряда изображений решётки. Первый ряд будет состоять из самой решётки и бесконечной последовательности изображений с обеих сторон с зарядом той же величины и знака. Оси этих воображаемых цилиндров лежат в плоскостях, уравнения которых имеют вид