Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
.
(17)
Это, таким образом, и есть удельное сопротивление составной среды, образованной из вещества с удельным сопротивлением k2, в которое вкраплены малые сферы с удельным сопротивлением k1 причём отношение суммарного объёма всех малых сфер ко всему объёму равно p. Для того чтобы действие этих сфер не вызывало явлений, зависящих от их взаимодействия, их радиусы должны быть малы в сравнении с расстояниями между ними, и поэтому величина p должна быть малой дробью.
Этот результат может быть получен и другими способами, но
Если расстояние между сферами не велико по сравнению с их радиусами, и если величина (k1– k2)/(2k1+k2) существенна, то в этот результат войдут другие члены, которые мы сейчас не будем рассматривать. Эти члены приводят к тому, что при определённых системах расположения сфер сопротивление составной среды оказывается различным в различных направлениях.
Приложение принципа изображений
315. Возьмём в качестве примера случай двух сред, разделённых плоской поверхностью, и предположим, что в первой среде на расстоянии a от этой плоской поверхности расположен источник электричества S, причём количество электричества, вытекающее из источника за единицу времени, равно S.
Если бы первая среда была бесконечно протяжённой, ток в любой точке P был бы направлен по SP, а потенциал в P равнялся бы E/r1 где E=(Sa)/4, а r1=SP.
В настоящем случае условия могут быть удовлетворены, если взять во второй среде точку I, изображение источника S, такую, что отрезок SI перпендикулярен плоскости раздела и точка пересечения с границей делит отрезок пополам. Пусть расстояние любой точки от I равно r2 тогда на поверхности раздела
r
1
=
r
2
,
(1)
dr1
d
=
–
dr2
d
.
(2)
Пусть потенциал V1 в любой точке первой среды будет определяться количеством электричества E, помещённым в S, и воображаемым количеством E2 в точке I, и пусть потенциал V2 в любой точке второй среды будет равен потенциалу воображаемого количества E1, помещённого в точке S. Тогда, если
V
1
=
E
r1
+
E2
r2
и
V
1
=
E1
r1
,
(3)
условие на поверхности V1=V2 даёт
E+E
2
=
E
1
,
(4)
а условие
1
k1
dV1
d
=
1
k2
dV2
d
(5)
даёт
1
k1
(E-E
2
)
=
1
k2
E
1
,
(6)
откуда
E
1
=
2k2
k1+k2
E
,
E
2
=
k2– k1
k1+k2
E
.
(7)
Таким
Ток в любой точке первой среды оказывается таким, как если бы он был вызван источником S и источником (k2– k1)S/(k2+k1), расположенным в I, если бы первая среда была бесконечной, а ток в любой точке второй среды оказывается таким же, как если бы он был вызван источником 2k2S/(k1+k2), расположенным в S, если бы вторая среда была бесконечной.
Таким образом, в случае двух сред, разделённых плоской границей, мы имеем полную теорию электрических изображений. Какова бы ни была природа электродвижущих сил в первой среде, потенциал, создаваемый ими в первой среде, может быть определён сочетанием их прямого действия с действием их изображения.
Если мы предположим, что вторая среда является идеальным проводником, то k2=0 и изображение, расположенное в точке I, равно по величине и противоположно по знаку источнику в S. Это есть случай электрических изображений, аналогичный теории Томсона в электростатике.
Если мы предположим, что вторая среда является совершенным изолятором, то k2=, и изображение в точке I равно источнику в S и имеет тот же знак. То же самое имеет место и в гидрокинетике, когда жидкость ограничена жёсткой плоской поверхностью.
316. Метод инверсии, который столь полезен в электростатике, когда предполагается, что граничная поверхность является поверхностью идеального проводника, неприменим к более общему случаю поверхности, разделяющей два проводника с различным электрическим сопротивлением. Однако метод инверсии применим в случае двух измерений, так же как и более общий метод преобразования для случая двух измерений, изложенный в п. 190 1.