Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
a2
2i+1
CA
3
.
(8)
Поскольку эта величина всегда имеет тот же самый знак, что и A3, каковы бы ни были значения k1 и k2, отсюда следует, что независимо от того, лучше или хуже остальной среды проводит сферическая оболочка, электрическое действие в пространстве, окружённом оболочкой, оказывается меньше, чем оно было бы без неё. Если оболочка оказывается лучшим проводником, чем остальная среда, она стремится выровнять
Случай сплошной сферы может быть получен из рассмотренного выше, если положить a1=0, или же этот случай может быть рассмотрен независимо.
313. Наиболее важным членом в разложении по гармоникам является член с i=1, для которого
C
=
1
,
9k
1
k
2
+
2(k
2
– k
1
)^2
1-
a
1
3
a
1
A
1
=
9k
1
k
2
CA
3
,
A
2
=
3k
2
(2k
1
+k
2
)
CA
3
,
B
2
=
3k
2
(k
1
– k
2
)
a
1
^3
CA
3
,
B
3
=
(k
1
– k
2
)
(2k
1
+k
2
)
(a
2
^3-a
1
^3)
CA
3
.
(9)
Случай сплошной сферы с сопротивлением k2 может быть получен отсюда, если положить a1=0. Мы тогда получаем
A
2
=
3k2
k1+2k2
A
3
,
B
2
=
0,
B
3
=
k2– k1
k1+2k2
a
2
^3
A
3
.
(10)
С помощью общих формул легко показать, что коэффициент B3
K
=
(2k1+k2)a2^3+(k1– k2)a1^3
(2k1+k2)a2^3-2(k1– k2)a1^3
k
2
.
(11)
314. Если имеется n сфер радиуса a1 и сопротивления k1 помещённые в среду, сопротивление которой равно k2, на таких расстояниях друг от друга, что вызываемое каждой из сфер возмущение протекающего тока можно рассматривать независимо, если все эти сферы заключены внутри сферы радиуса a2, потенциал на больших расстояниях r от центра этой сферы будет иметь вид
V
=
Ar
+
nB
1
r^2
cos
,
(12)
где значение B равно
B
=
k1– k2
2k1+k2
a
1
^3
A
.
(13)
Отношение объёма n малых сфер к объёму содержащей их большой сферы равно
p
=
na1^3
a2^3
.
(14)
Поэтому значение потенциала на большом расстоянии от сферы может быть записано в виде
V
=
A
r
+
p
a
2
^3
k1– k2
2k1+k2
1
r^2
cos
.
(15)
Если бы вся сфера радиуса a2 была сделана из вещества с удельным сопротивлением K, мы бы имели
V
=
A
r
+
a
2
^3
K-k2
2K+k2
1
r^2
cos
.
(16)
Одно выражение эквивалентно другому, если
K
=
2k1+k2+p(k1– k2)
2k1+k2– p(k1– k2)
k
2