Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
1
(i+1)+k
2
}A
1
+
(k
1
– k
2
)
(i+1)
B
1
a
– (2k+1)
,
k
1
(2i+1)
B
2
=
(k
1
– k
2
)
iA
1
a
2k+1
+
{k
1
i+k
2
(i+1)}B
1
.
k
1
(2i+1)
(5)
Таким
312. Пусть радиус первой сферической поверхности равен a1 и пусть имеется вторая сферическая поверхность большего радиуса a2, вне которой удельное сопротивление равно k3. Если внутри этих сфер отсутствуют источники или стоки электричества, потенциал V не принимает бесконечных значений, и мы имеем B1=0.
Тогда для A3 и B3, коэффициентов во внешней среде, мы находим
A
3
k
1
k
2
(2i+1)^2
=
{k
1
(i+1)+k
2
i}
{k
2
(i+1)+k
3
i}
+
+
i(i+1)
(k
1
– k
2
)
(k
2
– k
3
)
a1
a2
2i+1
A
1
,
B
3
k
1
k
2
(2i+1)^2
=
i(k
2
– k
3
)
{k
1
(i+1)+k
2
i}
a
2
2i+1
+
+
i(k
1
– k
2
)
{k
2
i+k
3
(i+1)}
a
1
2i+1
A
1
.
(6)
Значение потенциала во внешней среде частично зависит от внешних источников электричества, которые производят токи независимо от наличия сферы с неоднородным заполнением, а частично от возмущения, вызванного введением неоднородной сферы.
Первая часть должна зависеть от пространственных гармоник только положительных степеней, потому что она не может принимать бесконечных значений внутри
Таким образом, потенциал, вызванный внешними электродвижущими силами, должен разлагаться в ряд по пространственным гармоникам положительной степени. Пусть A3– коэффициент одной из этих гармоник, имеющей вид A3Siri. Тогда с помощью соотношения (6) мы можем найти соответствующий коэффициент A1 для внутренней сферы и отсюда вывести A2, B2 и C3. При этом C3 представляет влияние на потенциал во внешней среде, вызванное введением неоднородной сферы.
Предположим теперь, что k3=k1, т.е. рассмотрим случай полой оболочки, для которой k=k2, разделяющей внутреннюю и внешнюю части среды, для которой k=k1.
Если мы положим
C
=
1
,
(2i+1)^2k
1
k
2
+
i(i+1)(k
2
– k
1
)^2
1-
a
1
2i+1
a
2
то
A
1
=
k
1
k
2
(2i+1)^2
CA
3
,
A
2
=
k
2
(2i+1)
(k
1
(i+1)+k
2
i)
CA
3
,
B
2
=
k
2
i
(2i+1)
(k
1
– k
2
)
a
1
2i+1
CA
3
,
B
3
=
i(k
2
– k
1
)
(k
1
(i+1)+k
2
i)
(a
2
2i+1
– a
1
2i+1
)
CA
3
.
(7)
Разность между невозмущённым коэффициентом A3 и его значением A1 в полости внутри сферической оболочки равна
A
3
– A
1
=
(k
2
– k
1
)^2
i(i+1)
1-
a1