Трактат об электричестве и магнетизме, Максвелл Джеймс Клерк

Трактат об электричестве и магнетизме

на обложку

Максвелл Джеймс Клерк

Шрифт:

KF^2

Предположим, что потенциал

каждой точки поля увеличился на малую величину V, где V - произвольная функция от x, y, z, тогда вариация энергии Q будет даваться уравнением

или, согласно теореме Грина,

–

где d1 и d2– элементы нормалей к поверхности в сторону первой и второй среды соответственно.

Но согласно п. 85, 86

(eV)

и поскольку V произвольно, то

–

что и совпадает с уравнениями в тексте.

В опытах Фарадея пламя можно рассматривать как проводник, связанный с землёй. Влияние диэлектрика выражается в появлении кажущейся электризации на его поверхности. Эта кажущаяся электризация,

воздействуя на проводящее пламя, притягивает к себе электричество противоположного знака, распределяющееся по поверхности диэлектрика, тогда как электричество того же знака отталкивается через пламя на землю. Таким образом, на поверхности диэлектрика появляется действительная электризация, компенсирующая влияние кажущейся электризации. При устранении индуцирующей силы кажущаяся электризация исчезает, а действительная электризация остаётся и уже не компенсируется кажущейся.

ГЛАВА III

О РАБОТЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИЛ И ЭНЕРГИИ ДЛЯ СИСТЕМЫ ПРОВОДНИКОВ

84. О Работе, которую должен совершить внешний агент, чтобы зарядить систему заданным образом.

Работа, затрачиваемая при перенесении количества электричества e с бесконечного расстояния (или из любой точки, где потенциал равен нулю) в данную часть системы с потенциалом V равна, по определению (п. 70), Ve.

В результате такой операции заряд в данной части системы возрастает на e, так что если до этого он был равен e его значение становится равным e+e.

Следовательно, работа, совершаемая при заданном изменении зарядов системы, выражается интегралом

(

)

(1)

где суммирование производится по всем частям заряженной системы.

Из выражения для потенциала, приведённого в п. 73, видно, что потенциал в данной точке может рассматриваться как сумма нескольких слагаемых, каждое из которых представляет собой потенциал соответствующей части заряда системы.

Таким образом, если V - потенциал в данной точке, обусловленный некоторой системой зарядов, которую мы обозначим (e), а V' - потенциал в той же точке, обусловленный другой системой зарядов, обозначаемой через (e'), то потенциал в этой точке, обусловленный одновременным наличием обеих систем зарядов, будет V+V'.

Следовательно, если каждый заряд системы увеличивается в отношении n к 1, то и потенциал в любой точке системы также изменяется в отношении n к 1.

Поэтому предположим, что внесение заряда в систему происходит следующим образом. Пусть сначала система не заряжена и находится под нулевым потенциалом и пусть все части системы заряжаются одновременно со скоростью, пропорциональной их окончательному заряду.

Так, если e - окончательное значение заряда, а V - окончательное значение потенциала какой-либо части системы, то если на некотором этапе этого процесса заряд равен ne то и потенциал равен nV, и мы можем описать весь процесс зарядки как непрерывное увеличение n от 0 до 1.

Когда n меняется от n до n+n, каждая часть системы, окончательный заряд которой равен e, а окончательный потенциал V увеличивает свой заряд на en, а поскольку её потенциал равен nV то совершаемая над ней работа равна eVnn.

Отсюда полная работа, совершаемая при зарядке системы, равна

(eV)

(2)

т.е. полусумме произведений зарядов различных частей системы на соответствующие им потенциалы.

Такова работа, затрачиваемая внешним источником при зарядке системы описанным нами способом, но поскольку система консервативная, то работа, затрачиваемая на приведение системы в это же состояние любым другим способом, будет той же.