Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
Коэффициент prs с разными индексами показывает величину потенциала на проводнике As при единичном заряде на проводнике Ar и при нулевых зарядах всех остальных проводников, кроме Ar.
Мы уже показали в п. 86, что prs=psr. Мы можем доказать это сейчас короче, рассмотрев цепочку равенств
p
rs
=
dVs
der
=
d
der
dWe
des
=
d
des
dWe
der
=
p
sr
.
(17)
Число различных
Решая уравнения (16) относительно e1, e2 и т. д., мы получим n уравнений, выражающих заряды через потенциалы
e
=
qV
+
…
+
q
r
V
r
+
…
+
q
n
V
n
,
…
…
…
…
…
…
e
s
=
q
s
V
+
…
+
q
r
s
V
r
+
…
+
q
n
s
V
n
,
…
…
…
…
…
…
e
n
=
q
n
V
+
…
+
q
r
n
V
n
+
…
+
q
n
n
V
n
,
(18)
В этом случае также qrs=qsr, так как
q
rs
=
der
dVs
=
d
dVs
dWV
dVr
=
d
dVr
dWV
dVs
=
q
sr
.
(19)
Подставляя
W
=
[
e
1
V
1
+…+
e
r
V
r
+…+
e
n
V
n
]/2
,
(20)
мы получим выражение для энергии через потенциалы
W
V
=
1
2
q
V^2
+
q
V
V
+
1
2
q
V^2
+
q
V
V
+
+
q
V
V
+
1
2
q
V^2
+
… .
(21)
Коэффициент с одинаковыми индексами называется Электрической Ёмкостью того проводника, к которому он относится.
Определение. Ёмкость проводника - это его заряд при единичном потенциале этого проводника и при нулевом потенциале остальных проводников.
Это подходящее определение для ёмкости проводника, если не делается никаких дополнительных уточнений. Но иногда оказывается удобным задавать другие условия на некоторых или на всех прочих проводниках, например, считать часть из них незаряженными. Мы можем тогда определить ёмкость проводника при этих условиях как его заряд при единичном потенциале.
Прочие коэффициенты называются коэффициентами индукции. Каждый из этих коэффициентов qrs показывает величину заряда, появляющегося на Ar при единичном потенциале проводника As и нулевых потенциалах всех остальных проводников, кроме As.
Математический расчёт коэффициентов потенциала и коэффициентов ёмкости в общем случае весьма труден. Ниже мы покажем, что эти коэффициенты имеют всегда вполне определённое значение, а в некоторых частных случаях рассчитаем их. Мы покажем также, как их можно определить на опыте.
Если идёт речь о ёмкости проводника без указания формы и положения остальных проводников системы, то подразумевается его ёмкость при условии, что никаких других проводников или заряженных тел нет на конечном расстоянии от рассматриваемого проводника.
Если иметь дело только с ёмкостями и коэффициентами индукции, то иногда оказывается удобным записывать их в виде [A.P]. Этот символ означает заряд на проводнике A при единичном потенциале проводника P (и при нулевом потенциале остальных проводников).
Аналогично [(A+B).(P+Q)] будет означать заряд на A+B при единичных потенциалах на P и Q. Легко видеть, что, поскольку
[(A+B).(P+Q)]
=
[A.P]
+
[A.Q]
+
[B.P]
+
[B.Q]