Трактат об электричестве и магнетизме, Максвелл Джеймс Клерк

Трактат об электричестве и магнетизме

на обложку

Максвелл Джеймс Клерк

Шрифт:

(12)

т.е. если при повышении потенциала Ar до 1 на заземлённом проводнике As индуцируется заряд e, то при повышении потенциала As до 1 на заземлённом проводнике Ar индуцируется такой же заряд e.

Наконец, сделаем третье предположение, что в начальном состоянии Vr=1, a es=0, а в конечном Vr=0,

а e's=1; уравнение (10) принимает на этот раз вид

Таким образом, если при незаряженном проводнике As повышение потенциала Ar до 1 приводит к повышению потенциала As до V, то при заземлённом проводнике Ar единичный заряд, сообщённый As, индуцирует на проводнике Ar отрицательный заряд, численно равный V.

Во всех этих случаях часть остальных проводников может быть изолирована и не заряжена, остальные должны быть заземлены.

Третий рассмотренный случай является элементарной формой одной из теорем Грина. В качестве примера его применения предположим, что мы установили распределение электрического заряда на различных частях проводящей системы, находящейся под нулевым потенциалом, индуцированное единичным зарядом, сообщённым определённому телу системы As.

Пусть r– заряд тела Ar при этих условиях. Тогда, если предположить, что на As заряда нет, а остальным телам сообщены различные потенциалы, то потенциал тела As будет

(

)

(14)

Таким образом, если мы установили поверхностную плотность в любой точке полого проводящего сосуда, находящегося под нулевым потенциалом, обусловленную единичным зарядом, находящимся в заданной точке внутри сосуда, то, зная значение потенциала в каждой точке поверхности этого же размера и формы, что и внутренняя поверхность проводника, мы можем найти потенциал в точке внутри этой поверхности, где находился единичный заряд.

Следовательно, если потенциал известен во всех точках замкнутой поверхности, то его можно определить и в любой точке внутри, если внутри поверхности нет заряженных тел, и во всех точках снаружи, если снаружи нет заряженных тел.

Теория системы проводников

87. Пусть A1, A2, …, An– n проводников произвольной формы, e1, e2, …, en– их заряды, a V1, V2, …, Vn– их потенциалы. Пусть диэлектрическая среда, разделяющая проводники, остаётся неизменной и не заряжается при рассматриваемых ниже операциях.

В п. 84

было показано, что потенциал каждого проводника является однородной линейной функцией от n зарядов проводников. Следовательно, электрическая энергия системы, являющаяся полусуммой произведений потенциала каждого проводника на его заряд, должна быть однородной квадратичной функцией от n зарядов типа

e^2

+ …

(15)

Индекс e указывает, что W представлено как функция зарядов. W без индекса будет означать выражение (3), в которое входят и заряды и потенциалы.

Из выражения (15) можно найти потенциал любого проводника. Потенциал определяется как работа, необходимая для переноса единичного заряда из области нулевого потенциала в точку с данным потенциалом, а поскольку эта работа идёт на увеличение W, то достаточно продифференцировать We по заряду определённого проводника, чтобы найти его потенциал. Таким образом, получим систему n линейных уравнений

…

(16)

выражающих n потенциалов через n зарядов.

Коэффициенты prs называются коэффициентами потенциала. Каждый коэффициент имеет два индекса, первый из которых указывает на заряд, а второй - на потенциал.

Коэффициент prr с одинаковыми индексами показывает величину потенциала проводника Ar при единичном заряде на нём и при нулевых зарядах на всех остальных проводниках. Существует n таких коэффициентов по числу проводников.