Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
Отсюда следует, что если q - какой-либо коэффициент ёмкости или индукции первой системы, a q' - соответствующий коэффициент второй системы, то q:q' = LK:L'K', а если p и p' - соответствующие коэффициенты потенциала в обеих системах, то p:p' = (1/LK):(1/L'K').
Если одно из тел смещено в первой системе, а соответствующее ему тело смещено подобным образом во второй системе, то эти смещения относятся как L к L'; если действующие на тела силы обозначить через F к F', то работы, совершенные в обеих системах, относятся как FL к F'L'.
Но полная электрическая энергия равна полусумме
Комбинируя эти пропорции, мы найдём, что отношение силы, действующей на какое-либо тело в одной системе к силе, действующей на соответствующее тело во второй системе, равно
F:F'
=
V^2K:V'^2K'
,
или
F:F'
=
e^2
L^2K
:
e'^2
L'^2K'
.
Первая пропорция показывает, что в подобных системах сила пропорциональна квадрату электродвижущей силы и индуктивной способности среды и не зависит от фактических размеров системы.
Следовательно, два проводника, помещённые в жидкость с индуктивной способностью больше, чем у воздуха, и заряженные до определённого потенциала, будут притягиваться сильнее, чем они притягивались бы в воздухе при тех же потенциалах.
Вторая пропорция показывает, что если количество электричества на каждом теле задано, то силы пропорциональны квадратам зарядов и обратно пропорциональны квадратам расстояний, а также обратно пропорциональны индуктивным способностям сред. Следовательно, два проводника с заданными зарядами, помещённые в жидкость с индуктивной способностью большей, чем у воздуха, будут притягиваться слабее, чем они притягивались бы в воздухе при тех же зарядах.
ГЛАВА IV
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
95 а. Во второй главе мы рассчитали потенциальную функцию и исследовали некоторые её свойства, исходя из предположения, что существует непосредственное действие на расстоянии между заряженными телами, являющееся равнодействующей непосредственного воздействия различных заряженных элементов этих тел друг на друга.
Если этот метод исследования назвать прямым, то обратный ему метод будет заключаться в принятии предположения, что потенциал - это функция, обладающая теми свойствами, которые мы вывели выше, и в исследовании вида этой функции.
В прямом методе потенциал вычисляется по распределению заряда с помощью интегрирования, причём оказывается, что он удовлетворяет определённым уравнениям в частных производных. В обратном методе эти уравнения в частных производных считаются заданными, а ищется потенциал и распределение электричества.
Прямой метод применим лишь в тех случаях, когда задано распределение электричества. Если
Мы должны показать, что обратный метод приводит во всех случаях ко вполне определённому результату, и установить некоторые общие теоремы, вытекающие из уравнения в частных производных Пуассона
d^2V
dx^2
+
d^2V
dy^2
+
d^2V
dz^2
+
4
=
0.
Выражаемые этим уравнением математические идеи отличны по своему характеру от идей, выражаемых интегральным соотношением
V
=
+
–
+
–
+
–
r
dx'
dy'
dz'
.
В дифференциальном уравнении мы выражаем тот факт, что сумма вторых производных от V в окрестности любой точки связана определённым образом с плотностью заряда в этой точке, и никак не связываем значение V в данной точке со значениями в различных точках, находящихся на конечном расстоянии от данной.
Наоборот, в определённом интеграле обозначенное через r расстояние между точкой (x', y', z'), в которой находится заряд, и точкой (x, y, z), в которой нас интересует потенциал, явно входит в подынтегральное выражение.
Таким образом, интеграл является подходящим математическим выражением для теории взаимодействия частиц на расстоянии, в то время как дифференциальное уравнение подходит для теории взаимодействия смежных элементов среды.
Мы видели, что. результат интегрирования удовлетворяет дифференциальному уравнению. Теперь нужно показать, что это единственное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее определённым условиям.
Тем самым мы не только установим математическую эквивалентность обоих выражений, но и подготовимся к переходу от теории прямого действия на расстоянии к теории взаимодействия смежных элементов среды.
95 б. Рассматриваемые в этой главе теоремы относятся к свойствам некоторых объёмных интегралов, взятых по конечной области пространства, которую мы будем называть электрическим полем.
Элементами этих интегралов, т. е. входящими в подынтегральное выражение величинами, являются либо квадрат некоторого вектора, величина и направление которого меняются от точки к точке, либо произведение одного вектора на проекцию другого вектора на его направление.
Из различных распределений векторной величины в пространстве два распределения представляют особый интерес.
Первое распределение - это такое, при котором вектор может быть представлен как пространственная вариация (см. п. 17) скалярной функции, называемой Потенциалом.
Такое распределение можно назвать невращательным, Безвихревым. Равнодействующая сила, возникающая из-за притяжения или отталкивания любой совокупности центров сил, при любом законе зависимости силы от расстояния имеет безвихревое распределение.