Избранные научные труды

Бор Нильс Хенрик Давид

⁵ Более детальный отчёт об этом исследовании с более полными ссылками на литературу появится позже в «The Communications of the Copenhagen Academy».

1. Измерения электромагнитных полей

Классическая электродинамика оперирует с идеализацией компонент поля f(x), определённых в каждой точке (x) пространства-времени. Хотя в квантовой теории поля эти понятия формально сохраняются, важно понять, что только средние значения таких компонент поля по конечной области пространства-времени R типа

F

(R)

=

1

R

R

f

(x)

d

⁴

x

(1)

имеют вполне определённый смысл (I, § 2). В начальном

приближении, в котором пренебрегается всеми эффектами, включающими e²/hc, эти средние подчиняются перестановочным соотношениям общего вида

[F

(R),F

(R')]

=

ihc

[

A

_,

(R,R')

–

A

_,

(R',R)

],

(2)

где выражения типа A_,(R,R'), определённые как интегралы по пространственно-временным областям R и R' от некоторых сингулярных функций, имеют конечные значения, зависящие от формы и относительного расположения областей R и R'.

Измерение полевой средней F(R) требует контроля за полным импульсом, передаваемым внутри пространственно-временной области R системе подвижных пробных тел с соответствующим распределением плотности заряда или тока , покрывающим всю часть пространства, которая в любой момент времени принадлежит области R. В случае электрической компоненты поля F_4l мы должны взять распределение заряда с постоянной плотностью ₄, а в случае магнитной компоненты поля F_mn — равномерное распределение тока в перпендикулярном направлении с компонентами плотности _m и _n. Действие поля такого распределения заряда-тока, поскольку оно не происходит в результате смещений пробных тел, сопровождающих контроль импульса, может в принципе быть исключено путём использования фиксированных вспомогательных тел, несущих распределение заряда-тока противоположного знака и построенных таким образом, чтобы не препятствовать свободному движению пробных тел. В случае токового распределения такие вспомогательные тела даже необходимы, чтобы обеспечить замкнутые цепи токов путём некоторой гибкой проводящей связи с пробными телами. В результате этой компенсации, источники поля всей измерительной установки будут, таким образом, описываться только поляризацией P возникающей от неконтролируемых смещений пробных тел в ходе измерений поля.

Если пробные тела выбраны достаточно тяжёлыми, мы можем всюду пренебрегать любым разбросом в их скоростях, но контроль их импульсов будет, конечно, приводить к существенному разбросу в их координатах в степени, требуемой соотношением неопределённости. Тем не менее можно, не нарушая никаких требований квантовой механики, не только удержать каждое пробное тело фиксированным в его первоначальном положении за исключением временных интервалов внутри области R соответствующей этому положению, но также гарантировать, что в течение таких временных интервалов смещения всех пробных тел в направлении передаваемого импульса, который следует измерить, совершенно одинаковы, хотя и неконтролируемы. Это общее смещение D описывается, в случае измерения электрического поля, компонентой D_l параллельной компоненте поля F_4l а при измерении магнитного поля — компонентами D_m и D_n, перпендикулярными F_mn. Кроме того, не ограничивая точности измерений поля, можно считать смещение D_m произвольно малым, если только плотность заряда-тока пробных тел выбрана достаточно большой. Путём дальнейшего усовершенствования составной измерительной установки, описанной в нашей предыдущей работе (I, § 3), можно даже свести измерение любой полевой средней к контролю импульса одного единственного дополнительного тела и, таким образом, получить ещё более сжатое выражение окончательных следствий из общего соотношения неопределённости.

Однако существенное обстоятельство в измерениях поля состоит в необходимости исключить в той степени, в какой это только возможно, неконтролируемый вклад в усреднённое поле, присутствующее в области R, возникающий от смещения пробных тел в ходе измерения. В самом деле, математическое ожидание этого вклада будет меняться обратно пропорционально величине разброса, допускаемого в измерениях поля, так как она пропорциональна поляризации P=D– D внутри области R. Однако именно это обстоятельство делает возможным с помощью подходящего механического устройства, с помощью которого

на пробные тела действует сила, пропорциональная их смещению, скомпенсировать импульс, передаваемый этим телам неконтролируемым полем, поскольку отношение этих полей к их источникам выражается классической теорией поля. С описанной процедурой компенсации результирующее измерение поля F(R) действительно удовлетворяет всем требованиям квантовой теории поля относительно определения полевых средних (I, § 5). В самом деле, вследствие существенно статистического характера элементарных процессов, включающих испускание и поглощение фотонов, некомпенсируемая часть действия поля пробных тел точно соответствует характерным флуктуациям поля, которые в квантовой электродинамике накладываются на все математические ожидания величин, определяемых источниками поля.

Когда рассматривается измерение двух полевых средних F(R) и F(R'), оказывается (I, § 4), что математическое ожидание усреднённой компоненты поля _,(R,R') которое создаётся в области R' смещением пробных тел в области R, равно произведению 1/2 RP на величину A_,(R,R'), встречающуюся в перестановочных соотношениях (2). Аналогично математическое ожидание усреднённой компоненты поля _,(R',R) в области R, обусловленного пробными телами в области R, равно 1/2 R'P'A_,(R',R). Когда установлена оптимальная компенсация импульсов, передаваемых пробным телам этими полями, (она достигается с помощью соответствующих устройств, использующих корреляцию путём световых сигналов между точками этих двух областей R и R'), из взаимный неопределённости контроля координаты и импульса можно сделать вывод, что единственное ограничение измеримости двух рассматриваемых полевых средних в точности соответствует следствиям перестановочных соотношений (2) для таких средних (I, § 6, 7). В этой связи следует подчеркнуть, что флуктуации поля, которые неотделимы от некомпенсируемых частей полей, порожденных действием пробных тел, не приводят к каким-либо ограничениям измеримости компонент поля в двух асимптотически совпадающих пространственно-временных областях. Фактически мы здесь имеем дело с полной аналогией существующей в квантовой механике воспроизводимости значений, наблюдаемых в двух непосредственно следующих друг за другом измерениях.

2. Измерения заряда-тока в начальном приближении

В формализме квантовой электродинамики плотности заряда-тока вводятся, подобно полевым величинам, компонентами j(x) в каждой пространственно-временной точке, но даже в начальном приближении, в котором такие символы формально перестановочны, чётко определённые выражения даются только интегралами типа

J

(R)

=

1

R

R

j

(x)

d

⁴

x

,

(3)

представляющими усреднённую плотность заряда-тока в конечной пространственно-временной области R. Из основных уравнений электродинамики следует в наиболее общем виде, что

RJ

(R)

=

R

f

x

d

⁴

x

=

S

f

d

;

(4)

это соотношение представляет собой определение средней плотности заряда-тока в области R в терминах потока электромагнитного поля через границу S этой области. В этом четырёхмерном представлении такие обобщённые потоки включают, конечно, кроме обычного потока электрического поля, определяющего среднюю плотность заряда, другие выражения, связанные со средними плотностями тока и представляющие циркуляции магнитного поля и токи смещения.

В простом частном случае, когда область R определена фиксированным пространственным объёмом V и постоянным временным интервалом T, средняя плотность заряда в соответствии с (4) будет задаваться, в обычном векторном представлении, выражением

J

₄

(V,T)

=

1

VT

T

dt

S

En

d

,

(5)

где S — поверхность, ограничивающая объём T, а n — единичный вектор внешней нормали к этой поверхности. В таком представлении средняя плотность тока будет иметь вид