Изложение системы мира

Лаплас Пьер Симон

Если кривая описана под действием силы, направленной к неподвижной точке, её можно разложить на две, из которых одна направлена по оскулирующему радиусу, а другая — по элементу кривой. Первая из них уравновешивает центробежную силу, вторая — увеличивает или уменьшает скорость тела, и поэтому его скорость непрерывно изменяется. Но она всегда такова, что площади, описанные радиусом-вектором вокруг центра действия силы, пропорциональны времени. И наоборот, если площади, описанные радиусом-вектором вокруг неподвижной точки, возрастают как время, сила, заставляющая их описывать, направлена постоянно к этой точке. Эти зависимости, фундаментальные для теории системы мира, легко доказываются следующим образом.

Можно предположить, что ускоряющая сила действует только в начале каждого отрезка времени, в течение которого движение тела равномерно. Тогда радиус-вектор опишет маленький треугольник. Если бы сила перестала действовать в следующий отрезок времени, радиус-вектор описал бы в этот второй отрезок времени новый треугольник, равный первому, поскольку вершины этих треугольников находятся в неподвижной точке — центре действия

силы, а их основания, расположенные на одной прямой, равны, как описанные с. одинаковыми скоростями в равные промежутки времени. Но в начале нового отрезка времени ускоряющая сила сочетается с касательной силой, действующей на тело, и заставляет его описать диагональ параллелограмма, стороны которого представляют эти силы. Треугольник, описываемый радиусом-вектором под действием этой комбинированной силы, равен тому, который был бы описан в отсутствие ускоряющей силы, так как эти два треугольника имеют общим основанием радиус-вектор конца первого отрезка времени, а их вершины находятся на прямой, параллельной этому основанию. Поэтому площади, описанные радиусом-вектором, равны в обоих последовательных и равных отрезках времени. Следовательно, сектор, описанный этим радиусом, возрастает как число таких отрезков времени или как время. Ясно, что это будет только при условии, если ускоряющая сила направлена к неподвижной точке. В противном случае рассматриваемые нами треугольники не были бы одинаковой высоты. Таким образом, пропорциональность площадей времени доказывает, что ускоряющая сила постоянно направлена к началу радиуса-вектора.

В этом случае, если вообразить очень малый сектор, описанный за очень короткое время, из начала дуги этого сектора провести касательную к кривой и продолжить до этой касательной радиус, проведённый из центра действия силы к другому концу дуги сектора, то часть радиуса, заключённая между дугой и касательной, будет, очевидно, расстоянием, пройденным под влиянием центростремительной силы. Удвоив это расстояние и разделив результат на квадрат времени, получим выражение силы. А так как сектор пропорционален времени, центростремительная сила будет как бы частью радиуса, заключённой между кривой и касательной, разделённой на квадрат сектора. Строго говоря, центростремительная сила в разных точках кривой не пропорциональна этой дроби, но она приближается к ней по мере уменьшения секторов так, что в пределе равна ей в точности. Дифференциальный анализ даёт этот предел в виде функции радиуса, когда форма кривой известна, и тогда получают функцию расстояния, которому пропорциональна центростремительная сила.

Хотя закон действия силы известен, определение кривой, которую она заставляет описывать, всё же представляет большие трудности. Но каковы бы ни были силы, приводящие в движение тело, предполагаемое свободным, легко следующим образом написать дифференциальные уравнения его движения. Вообразим три неподвижные и взаимно перпендикулярные оси, относительно которых для некоторого момента определены три координаты рассматриваемого тела. Разлагая каждую из действующих на него сил на три других, параллельных этим же осям, и умножив равнодействующую всех сил, параллельных одной из координатных осей, на элемент времени её действия, получим приращение скорости тела, параллельное этой координате. Эта скорость может быть приравнена к элементу координаты, разделённому на элемент времени, так что дифференциал частного от этого деления равен предыдущему произведению. Рассмотрение двух других координат даёт ещё два подобных равенства. Таким образом, определение движения тела становится задачей чистого анализа, который сводится к интегрированию этих дифференциальных уравнений.

Вообще, если положить, что элемент времени постоянен, вторая разность каждой координаты, разделённая на квадрат этого элемента, представит силу, которая, будучи приложена к точке в обратном направлении, уравновесила бы силу, действующую по этой координате. Если умножить разность этих сил на произвольное изменение координаты и сложить три подобных произведения, относящихся к трём координатам, то, по условию равновесия, их сумма будет равна нулю. Если тело свободно, изменения всех трёх координат будут произвольными, и, приравняв коэффициенты при каждой из них нулю, получим три дифференциальных уравнения движения точки. Но если точка не свободна, между тремя координатами возникают одна или две зависимости, которые дадут такое же число уравнений, связывающих произвольные изменения координат. Поэтому, исключив с их помощью столько же этих изменений, мы приравняем нулю коэффициенты остающихся изменений и получим дифференциальные уравнения движения, которые в сочетании с соотношениями координат определят положение точки для любого момента.

Интегрирование этих уравнений нетрудно, если сила направлена к неподвижному центру. Но часто природа сил делает это интегрирование невозможным. Однако рассмотрение дифференциальных уравнений приводит к некоторым, интересным принципам механики. Например, дифференциал квадрата скорости точки, подвергнутой действию ускоряющих сил, равен удвоенной сумме произведений каждой силы на малый отрезок, на который точка подвигается в направлении этой силы. Отсюда легко заключить, что скорость, достигнутая весомым телом вдоль некоторой кривой или изогнутой поверхности, такова, как если бы оно вертикально падало с той же высоты.

Многие философы, поражённые порядком, господствующим в природе, и её плодовитостью в создании явлений, пришли к мысли, что она всегда приходит к своей цели самым простым путём. Распространяя этот взгляд на механику, они искали в ней экономию, которую соблюдает природа в использовании сил и времени. Птолемей узнал, что отражённый свет проходит из одной точки в другую по самому короткому пути и, следовательно, в самое короткое время, полагая скорость световых лучей неизменной. Ферма, один из самых великолепных гениев, которыми гордится Франция, обобщил этот принцип, распространив его на преломление света. Он предположил, что свет проходит из точки, взятой вне прозрачной среды, в точку, находящуюся внутри её, за самое короткое время. Затем, считая очень вероятным, что скорость света должна быть меньше в этой среде,

чем в пустоте, он искал, каков будет при этом предположении закон преломления света. Приложив к этой проблеме свой прекрасный метод максимумов и минимумов, который надо рассматривать как истинный зародыш дифференциального исчисления, он нашёл в согласии с опытом, что синусы углов падения и преломления должны быть в постоянном отношении, большем единицы. Счастливый способ, которым Ньютон вывел это отношение из притяжения сред, навёл Мопертюи на мысль, что скорость света в прозрачных средах увеличивается и что, таким образом, вопреки утверждениям Ферма, не сумма частных от деления расстояний, пройденных в пустоте и в среде, на соответствующие скорости, а сумма произведений этих величин должна быть минимальна. Эйлер распространил это предположение на непрерывно изменяющиеся движения и доказал разными примерами, что среди всех кривых, какие может описать тело, двигаясь из одной точки в другую, оно всегда выбирает ту, в которой интеграл произведения его массы на скорость и на элемент кривой минимален. Таким образом, скорость точки, движущейся по кривой поверхности и не побуждаемой никакой силой, постоянна; точка переходит из одного положения в другое по самой короткой линии на этой поверхности. Вышеупомянутый интеграл назвали действием тела, а совокупность подобных интегралов, относящихся к каждому телу некоторой системы, действием системы. Эйлер установил, что это действие всегда минимально, так что экономия природы сводится к его сбережению. В этом заключается принцип наименьшего действия, настоящим изобретателем которого надо считать Эйлера, и который затем был выведен Лагранжем из основных законов движения. Этот принцип по существу есть лишь весьма любопытный результат этих законов, которые, как мы уже видели, наиболее естественны и самые простые из всех, какие можно вообразить, и которые поэтому кажутся вытекающими из самого существа материи. Он годится для всех математически возможных зависимостей между силой и скоростью, если в эти зависимости вместо скорости подставлять функцию скорости, через которую выражена сила. Поэтому принцип наименьшего действия' не следует рассматривать как конечную причину. Этот принцип не только не породил законы движения, но даже не способствовал их открытию, без которого всё ещё спорили бы о том, что следует понимать под принципом наименьшего действия в природе.

Глава III О РАВНОВЕСИИ СИСТЕМЫ ТЕЛ

Самый простой случай равновесия нескольких тел — это равновесие двух материальных точек, сталкивающихся с равными, но противоположными скоростями. Их взаимная непроницаемость — свойство материи, в силу которого два тела не могут в одно и то же время занимать одно и то же место, уничтожает, очевидно, их скорости и приводит эти тела в состояние покоя. Но каково будет в случае равновесия отношение скоростей к массам, если сталкиваются два тела с разными массами и с взаимно противоположными скоростями? Чтобы разрешить эту проблему, вообразим систему соприкасающихся материальных тел, расположенных на одной прямой и двигающихся с некоторой общей скоростью в одном направлении. Кроме того, представим себе другую систему соприкасающихся материальных тел, расположенных на той же прямой и перемещающихся тоже с общей скоростью в противоположном направлении. Столкнувшись, обе системы приходят в равновесие. Ясно, что если бы первая система состояла только из одной материальной точки, каждая точка второй системы погашала бы при столкновении часть скорости первой системы, равную скорости второй системы. Следовательно, в рассматриваемом случае равновесия, скорость ударяющей точки должна быть равной произведению скорости второй системы на число её точек. В результате первую систему можно заменить одной точкой, придав ей скорость, равную этому произведению. Подобным же образом вторую систему можно заменить материальной точкой со скоростью, равной скорости первой системы, умноженной на число её точек. Так, вместо двух систем, мы получим две точки, которые уравновесятся противоположными скоростями, из которых одна будет произведением скорости первой системы на число её точек, а вторая — произведением скорости второй системы на число её точек. В случае равновесия эти произведения должны быть одинаковы.

Масса тела равна сумме его материальных точек. Произведение массы на скорость называют количеством движения, или ещё силой тела. Для равновесия двух тел или двух систем материальных точек, сталкивающихся в противоположных направлениях, количества движения, или противоположные силы тела, должны быть равны и, следовательно, их скорости должны быть в обратном отношении к массам.

Очевидно, что две материальные точки могут действовать друг на друга только по соединяющей их прямой. Действие первой из них, направленное на вторую, сообщает ей некоторое количество движения. Можно представить себе, что вторая точка ещё раньше, чем на неё подействовала первая, находилась под воздействием этого количества и ещё другого количества движения, равного ему, но противоположно направленного. Тогда действие первого тела сведётся к уничтожению этого последнего количества движения. Но для этого оно должно затратить равное и противоположное количество движения, которое будет уничтожено. Вообще, мы видим, что при взаимодействии тел противодействие всегда равно и противоположно действию. Мы видим ещё, что это равенство вовсе не предполагает наличия в материи какой-то особой силы. Оно вытекает из того, что одно тело не может приобрести движение, не отняв его у другого, подобно тому, как один сосуд наполняется по мере расхода жидкости в другом, соединённом с ним сосуде.

Равенство действия противодействию проявляется во всех явлениях природы. Железо притягивает магнит точно так же, как магнит притягивает железо. То же самое наблюдается в электрическом притяжении и отталкивании и даже в действии сил, присущих живым существам; так как, каков бы ни был двигательный принцип человека и животных, через реакцию материи они всегда испытывают действие силы, равной и противоположной той силе, которую они этой материи сообщают; и в этом смысле они подвержены действию тех же законов, что и неживые тела.