Изложение системы мира

Лаплас Пьер Симон

Обратная пропорциональность скоростей массам в случае равновесия служит для определения отношения масс различных тел. У однородных тел массы пропорциональны их объёмам, измерению которых учит геометрия. Но все тела, как мы знаем, не имеют одинаковых свойств, и существующее между ними несходство либо в составляющих их молекулах, либо в числе и величине пор, или промежутков, которые разделяют эти молекулы, приводит к очень большим различиям в массах этих тел, заключённых в одинаковых объёмах. В таких случаях геометрии оказывается недостаточно, чтобы определить отношения их масс, и становится необходимым прибегнуть к механике.

Если представить себе два шара из разных материалов и менять их диаметры до тех пор, пока движимые с равными и противоположными скоростями они не придут в состояние равновесия, можно быть уверенным,

что тогда они будут включать одинаковое число материальных точек и, следовательно, будут иметь одинаковые массы. Таким образом, получаем отношение объёмов этих веществ к равным массам. Затем с помощью геометрии получаем отношение масс двух любых объёмов одинакового вещества. Но применение этого метода было бы очень трудным при многочисленных сравнениях, которые постоянно требуются для нужд коммерции. К счастью, природа предлагает нам — через свойство тяжести предметов — очень простой способ сравнивать их массы.

В предыдущей главе мы отмечали, что каждая материальная точка в одном и том же пункте на Земле под действием силы тяжести стремится двигаться с одинаковой скоростью. Сумма этих стремлений и представляет вес тела. Таким образом, вес пропорционален массе. Отсюда следует, что если два тела, подвешенные на концах нити, перекинутой через блок, оказываются уравновешенными, когда части нити по обе стороны блока равны по длине, массы этих тел равны. Стремясь под влиянием силы тяжести двигаться с одинаковой скоростью, они действуют одно на другое, как если бы они столкнулись с равными и противоположными скоростями. Два тела можно привести в равновесие ещё с помощью весов, у которых плечи коромысла и чашки строго равны между собой, что позволит быть уверенным в равенстве их масс. Таким образом, отношение масс различных тел можно получить с помощью точных и чувствительных весов и большого числа одинаковых гирек, определяя их число, необходимое для уравновешивания этих масс.

Плотность тела зависит от числа его материальных точек, заключённых в данном объёме. Она пропорциональна отношению массы к объёму. Вещество, не имеющее пор, имело бы самую большую плотность из всех возможных. Сравнивая с ним плотность других тел, можно было бы получить количество заключённой в них материи. Но так как подобного вещества мы не знаем, то можем получить только относительные плотности тел. Эти плотности относятся между собой как веса соответствующих тел, взятых в одинаковом объёме, так как веса пропорциональны массам. Поэтому, взяв за единицу плотность какого-либо вещества при постоянной температуре, например максимум плотности дистиллированной воды, получим плотность тела, равную отношению его веса к весу такого же объёма воды, приведённого к этому максимуму. Это отношение называется удельным весом.

Во всём сказанном, как будто, предполагалось, что материя однородна и тела различаются только формой и величиной их пор и составляющих эти тела молекул. Между тем возможно, что есть существенные различия в свойствах самих молекул, и тому немногому, что мы знаем о материи, не противоречит предположение, что небесное пространство заполнено флюидом, лишённым пор, но в то же время таким, что он оказывает лишь неощутимое сопротивление движению планет. Это позволило бы примирить неизменность этих движений, доказанную наблюдаемыми явлениями, с мнением тех, кто не считает возможным существование пустоты. Но это безразлично для механики, изучающей только протяжённость тел и их движение. Поэтому можно, не боясь впасть в ошибку, принять однородность элементов материи при условии, что под одинаковыми массами подразумеваются массы, которые, будучи подвергнуты действию равных, но противоположных сил, приходят в равновесие.

В теории равновесия и движения тел отвлекаются от числа и формы пор, которыми они пронизаны. Можно объяснить различие их относительных плотностей, предположив, что тела образованы из более или менее плотных материальных точек, совершенно свободных в жидкости и газе, соединённых между собой лишёнными массы несгибаемыми прямыми в твёрдых телах и гибкими и растяжимыми — в телах эластических и мягких. Ясно, что при этих предположениях тела казались бы такими, какими мы их воспринимаем.

Условия равновесия системы тел могут всегда быть определены по закону сложения сил, изложенному в первой главе этой книги; ибо можно представить силу, действующую

на каждую материальную точку, приложенной к месту встречи направления её действия с направлениями других сил, которые её уничтожат или, сложившись с нею, образуют равнодействующую силу, которая в случае равновесия погасится неподвижными точками системы. Рассмотрим, например, две материальные точки, расположенные на концах несгибаемого рычага, и предположим, что на них воздействуют силы, направленные в плоскости, проходящей через этот рычаг. Если принять, что эти силы сосредоточены в точке встречи их направлений, равнодействующая сила для равновесия должна проходить через точку опоры — единственную точку, которая может её уничтожить. По закону сложения сил, две составляющие должны быть противоположны перпендикулярам, проведённым из точки опоры на их направления.

Если вообразить два тяжёлых тела, расположенных на концах несгибаемого рычага, массу которого можно считать бесконечно малой по сравнению с массой этих тел, можно положить, что направления, параллельные силе тяжести, соединяются в бесконечности. В этом случае силы, действующие на каждое из этих двух тел, или, что то же, их веса, для равновесия должны быть противоположны направлениям перпендикуляров, проведённых из точки опоры на направления этих сил. Эти перпендикуляры пропорциональны плечам рычага. Таким образом, веса двух уравновешенных тел обратно пропорциональны плечам рычага, с которыми они связаны.

Поэтому очень небольшой вес с помощью рычага и подобных ему приспособлений может уравновесить очень значительный вес, и таким способом можно поднять огромный груз, приложив лишь небольшое усилие. Но для этого надо, чтобы плечо рычага, к которому прилагается сила, было гораздо длиннее плеча, поднимающего тяжесть, и чтобы подъёмная сила перемещалась на большем расстоянии, поднимая груз на малую высоту. При этом потеря во времени возмещается выигрышем в силе, что обычно имеет место в машинах. А часто бывает, что, располагая неограниченным временем, можно использовать лишь ограниченную силу. При других обстоятельствах, например если надо развить большую скорость, можно также использовать рычаг, прилагая силу к его более короткому плечу. Именно в возможности по мере надобности увеличивать массу или скорость подлежащих перемещению тел и состоит главное преимущество машин.

Рассмотрение рычага породило идею моментов. Моментом силы, заставляющей систему вращаться вокруг точки, называют произведение этой силы на расстояние от точки до направления действующей силы. Таким образом, в случае равновесия рычага, к концам которого приложены две силы, моменты этих сил по отношению к точке опоры должны быть равны и противоположны, или, что сводится к тому же, сумма моментов относительно этой точки должна быть равна нулю.

Проекция силы на проходящую через неподвижную точку плоскость, умноженная на расстояние точки от этой проекции, называется моментом силы, вращающей систему вокруг оси, проходящей через неподвижную точку перпендикулярно этой плоскости.

Момент равнодействующей любого числа сил по отношению к точке или какой-либо оси равен сумме таких же моментов составляющих сил.

Так как можно предположить, что параллельные силы соединяются в бесконечности, их можно свести к равнодействующей силе, равной их сумме и параллельной им. Поэтому, разлагая каждую силу, действующую на систему тел, на две — одну, лежащую в плоскости, и другую, перпендикулярную к этой плоскости, — можно все силы, лежащие в этой плоскости, свести к одной равнодействующей, так же как и перпендикулярные ей силы — к другой равнодействующей. Всегда существует плоскость, проходящая через неподвижную точку, и притом такая, что равнодействующая сил, перпендикулярных этой плоскости, равна нулю или проходит через эту точку. В обоих этих случаях момент равнодействующей равен нулю по отношению к осям, начало которых лежит в этой точке, и момент сил системы относительно этих осей сводится к моменту равнодействующей, расположенной в плоскости, о которой идёт речь. Ось, относительно которой этот момент максимален, перпендикулярна этой плоскости, и момент сил системы относительно оси, проходящей через неподвижную точку и составляющей некоторый угол с осью наибольшего момента, равен наибольшему моменту системы, умноженному на косинус этого угла, так что этот момент равен нулю для всех осей, расположенных в плоскости, перпендикулярной оси наибольшего момента.