Изложение системы мира
Шрифт:
Ясно, что если тела подвержены действию ускоряющих сил, всегда можно применить те же разложения скоростей. Но тогда должно иметь место равновесие между уничтоженными скоростями и именно этими силами.
Этот способ приведения законов движения к законам равновесия, которым мы обязаны главным образом Даламберу, является общим и очень ясным. Можно было бы удивляться, что он ускользнул от геометров, занимавшихся динамикой раньше Даламбера, если бы не было известно, что самые простые идеи почти всегда последними приходят человеческому уму.
Оставалось ещё объединить изложенный нами принцип с принципом возможных скоростей, чтобы придать механике всё то совершенство, на которое она способна. Это сделал Лагранж, и таким путём свёл исследование движения любой системы тел к интегрированию дифференциальных
Если вообразить три взаимно перпендикулярные неподвижные оси и в некоторый момент разложить скорости каждой материальной точки системы тел на три другие, параллельные этим осям, можно рассматривать каждую отдельную скорость как равномерную в этот момент. Затем, в конце момента, можно представить себе эту точку под воздействием трёх скоростей, параллельных одной из осей, а именно: её скорости в этот момент, небольшого изменения, которое скорость получает в следующий момент, и этого же изменения, приложенного в обратном направлении. Две первые из этих скоростей существуют в следующий момент. Третья должна быть уничтожена силами, увлекающими точку, и действием других точек системы. Таким образом, полагая, что мгновенные изменения частных скоростей каждой точки системы приложены к этим точкам в обратном направлении, мы получим систему, которая в силу этих изменений и действующих на неё сил должна находиться в равновесии. Уравнения этого равновесия получаются с помощью принципа возможных скоростей. Комбинируя их с уравнениями, связывающими части системы, получим дифференциальные уравнения движения каждой из её точек.
Ясно, что подобным же способом можно привести и законы движения жидкостей и газов к законам их равновесия. В этом случае условия, относящиеся к связи между частями системы, сводятся к тому, чтобы объём любой молекулы оставался неизменным, если жидкость несжимаема, и чтобы он зависел от давления по заданному закону, если жидкость упруга и сжимаема. Уравнения, выражающие эти условия и изменения движения жидкостей и газов, включают частные разности каждой из координат молекулы, взятые либо по отношению к времени, либо по отношению к первоначальным координатам. Интегрирование такого рода уравнений представляет большие трудности, и до сих пор оно удалось лишь в отдельных случаях, относящихся к движению весомой жидкости в сосудах, к теории звука и к колебаниям морей и атмосферы.
Рассмотрение дифференциальных уравнений движения системы тел привело к открытию нескольких весьма полезных принципов механики, являющихся развитием тех, которые были нами представлены при описании движения точки во II главе этой книги.
Материальная точка движется равномерно по прямой, если она не испытывает посторонних воздействий. В системе тел, действующих друг на друга, но не подверженных действию внешних сил, общий центр тяжести движется равномерно по прямой, и его движение таково, как если бы все тела были сосредоточены в этой точке и все силы, увлекающие их, непосредственно приложены к ней, так что направление и величины их равнодействующей остаются постоянно неизменными.
Мы видели, что радиус-вектор тела, подверженного действию силы, направленной к неподвижной точке, описывает площади, пропорциональные времени. Если предположить, что система тел, действующих друг на друга каким-либо способом, подвержена действию силы, направленной к неподвижной точке, и если из этой точки к каждому из тел провести радиус-вектор и спроектировать их на неизменную плоскость, проходящую через эту точку, сумма произведений массы каждого тела на площадь, описанную проекцией его радиуса-вектора, пропорциональна времени. В этом состоит принцип сохранения площадей.
Если нет неподвижной точки, притягивающей систему, или она подвержена только взаимному действию её частей, за начало радиусов-векторов можно взять любую точку.
Произведение массы тела на площадь, описанную проекцией его радиуса-вектора за единицу времени, равно проекции полной силы этого тела, умноженной на перпендикуляр, опущенный из неподвижной
Живой силой системы называют сумму произведений массы каждого тела на квадрат его скорости. Когда тело движется по кривой или по поверхности, не испытывая действия посторонних сил, его живая сила всё время остаётся постоянной, так как постоянна его скорость. Если тела системы не испытывают других взаимодействий, кроме их взаимного притяжения и давления либо непосредственно, либо посредством нерастяжимых и не упругих стержней и нитей, живая сила системы постоянна даже в том случае, если некоторые из её тел принуждены двигаться по кривым линиям и поверхностям. Этот принцип, названный принципом сохранения живых сил, распространяется на все возможные законы, связывающие силу и скорость, если под живой силой тела понимать удвоенный интеграл произведения его скорости на дифференциал приложенной к нему конечной силы.
При движении тела, побуждаемого какими-либо силами, изменение живой силы равно удвоенному произведению массы тела на сумму ускоряющих сил, умноженных, соответственно, на величины элементарных перемещений тела в направлении к началам этих сил. В движении системы тел удвоенная сумма всех этих произведений равна изменению живой силы системы.
Представим себе, что при движении системы все тела под влиянием приложенных к ним ускоряющих сил в одно и то же время приходят в положение равновесия. Изменение живой силы, по принципу возможных скоростей, будет равно нулю. Поэтому живая сила тогда будет максимальна или минимальна. Если бы система двигалась лишь посредством простых колебаний только одного вида, тела, выходя из положения равновесия, стремились бы к нему вернуться, если равновесие — устойчивое. Их скорости уменьшались бы по мере удаления от этого положения, и, следовательно, в этом положении живая сила имела бы максимум. Но если равновесие неустойчивое, тела, отдалившись от него, стремились бы удалиться ещё дальше, их скорости возрастали бы и живая сила была бы в этом случае минимальна. Отсюда можно заключить, что если живая сила постоянно максимальна, когда все тела системы приходят в состояние равновесия одновременно, то, какова бы ни была их скорость, равновесие устойчиво. И наоборот, как абсолютная, так и относительная устойчивость отсутствуют, если живая сила в этом положении минимальна.
Наконец, мы видели во II главе, что сумма интегралов произведений каждой конечной силы системы на элемент её направления, сумма, которая в состоянии равновесия равна нулю, в состоянии движения становится минимальной. В этом состоит принцип наименьшего действия, отличающийся от принципов равномерного движения центра тяжести, сохранения площадей и сохранения живых сил тем, что эти принципы суть истинные интегралы дифференциальных уравнений движения тел, тогда как принцип наименьшего действия — особое сочетание этих самых уравнений.
Так как конечная сила тела есть произведение его массы на скорость, а скорость, умноженная на путь, пройденный за элемент времени, равна произведению этого элемента на квадрат скорости, то принцип наименьшего действия может быть выражен следующим образом.
Интеграл живой силы, умноженный на элемент времени, минимален. Таким образом, истинная экономия природы сводится к экономии живой силы. Эту экономию нужно иметь в виду при конструировании машин, которые тем совершеннее, чем меньшую живую силу они затрачивают для производства определённого действия. Если тела не подчинены никакой ускоряющей силе, живая сила системы постоянна. Поэтому система переходит от одного положения к любому другому за кратчайшее время.