Математика от А до Я: Справочное пособие (издание третье с дополнениями)

Романов Алексей Михайлович

Вводя как в работе [132] удельную скорость вовлечения

представляющую собой массу вовлекаемого воздуха, отнесенную к единице высоты Z, получаем для М следующие выражение:

М = е^Z

Рассмотрим вначале случай постоянных значений и .

Подставив это выражение для массы облака в формулу (3.84) при = const и = const, получаем:

Находим постоянную

интегрирования:

при Z=Z_g = _g

откуда

И окончательное выражение для дефекта температуры термоклуба получаем при подстановке постоянной С в уравнение (3.85):

Эта формула при Z_g = 0 совпадает с формулой работы [132], полученной в предложении сохранения потенциальной температуры воздушной частицы при ее адиабатическом смещение вдоль оси Z и при задании исходного уровня Z=0 и начального перегрева ₀ =Т₀ — Т.

Высота стабилизации вещества облака из соотношения (3.86), определяемая из условия 0=0, находится при подстановке вместо Z его предельного значения Z_m.

Поучаем

Это выражение является обобщением формулы Л. Махты для высоты стабилизации выброса в атмосфере, которое учитывает процесс неадиабатического расплывания выброса, начинающийся с уровня Z_g — высоты потери его динамической индивидуальности.

Формула Л. Махты [127]:

где ₀ — разность потенциальных температур на исходном уровне Z = О, дает аналогичные значения для Z_m.

Формула (3.87) имеет смысл при у < О, т. е. при устойчивом состоянии атмосферы, когда температура воздуха уменьшается с высотой медленнее, чем на 1 градус на каждые 100 метров.

При этом

На графиках Рис. 3.20 представлено сравнение результатов расчетов высот подъема взрывных выбросов Z_m в зависимости от начального перегрева вещества клуба, выполненное по различным формулам. Отметим, что формула (3.87) при Z = 0 и _g0 =Т₀– Т дает значения высот подъема взрывных клубов такие же, как по формуле Л. Махты.

Расчеты выполнялись для следующих условий[132]: =5 x 0^{– 4} 1/м (вовлечение 1 кг воздуха на каждые 4 кг облачного воздуха при подъеме его на 500 м) при вариации коэффициента .

Как следует из графиков этого рисунка, формула Сэттона дает заниженные значения для Z_m при любых начальных перегревах вещества выброса. Этот факт отмечается и в работе [132], где кроме этого подчеркивается качественное согласие результатов расчетов по формуле Махты с экспериментальными данными по высотам стабилизации облаков ядерных взрывов. Расчеты по формуле (3.87) показывают очень сильную зависимость Z_m от степени устойчивости атмосферного воздуха, что является физически правдоподобным.

Для получения выражения для высоты стабилизации выбросов в реальной атмосфере [152] следует исходить из наличия турбулентных пульсаций температуры атмосферного воздуха 

и переменных по высоте выброса значений коэффициентов вовлечения и .

Будем исходить из уравнения (3.83а) при учете связи вовлечения Е в произвольный объем с его боковой поверхностью S и изменением массы облака по времени

где

удельное вовлечение Е для нагретого вещества выброса, поднимающегося со скоростью W в атмосфере записывается так:

S — площадь поверхности термоклуба через которую происходит вовлечение окружающего воздуха; — коэффициент вовлечения.

Не ограничивая общности рассуждений, можно считается термоклуб сферическим.

Тогда

где — объем термоклуба

При получении этого выражения была использована связь:

Подставляя вместо S и их значения в формулу (3.91), получаем:

При получении этого выражения было использовано условие изоабатичности течения. Коэффициент n учитывает соотношение боковой поверхности и его объема. Если R — радиус эквивалентной сферы, имеющей объем нагретого облака, то n = 3.

Уравнение для определения дефекта температуры термоклуба на высотном уровне стабилизации его вещества запишется в окончательной форме:

Это уравнение может быть решено численно. Для получения приближенного его решения воспользуемся условием малости :

Тогда уравнение (3.93) приобретает приближенный вид:

Его решение записывается так:

Постоянная С определяется из начального условия для дефекта температуры на уровне потери клубом динамической индивидуальности: при Z = Z_g = _g

Рис. 3.20. Высота подъема облака взрыва в зависимости от начального перегрева _g=T₀ — Т.

Откуда получаем

Окончательно для перегрева вещества распавшегося выброса получаем выражение:

Подставляя вместо (Z) конкретные значения профиля градиента атмосферной температуры как функции высоты Z, можно получить связь перегрева вещества выброса с его геометрической высотой и с высотой потери им динамической индивидуальности. В частности высота стабилизации вещества клуба в турбулентной атмосфере найдется из соотношения (3.95) при задании на этом высотном уровне значения дефекта температуры вещества клуба в виде: при Z = Z_m = _m, где

.