Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ваховский Евгений Борисович

3log₃^2 x– 8log₃ x + 4 = 0,

откуда x₁ = 3 ^2/3 , x₂ = 9.

Находим соответствующие y и делаем проверку.

Способ 2. Применим равенство 

 (оно доказывается с помощью логарифмирования) к первому уравнению. Получим

т. е.

 или

Прологарифмировав

по основанию 3, решим полученное уравнение совместно со вторым уравнением системы:

Ответ.

11.27. Так как x и y одного знака (это следует из второго уравнения) и x + y > 0 (из первого), то x и y положительны, причем либо x, либо y обязательно больше 1 (так как xy = 3). Следовательно, x + y > 1 и данная система может быть переписана так:

Если 0 < x– y < 1, то получим систему

следствием которой является система

Из первого уравнения получим 7 x = 9y. Подставляя сюда y = ³/_x, найдем x^2 = ²⁷/₇, откуда

Убеждаемся, что при этих значениях x и y неравенство 0 < x– y < 1 выполняется.

Если x– y > 1, то получим систему

следствием которой является система

Подставляя в первое уравнение y = ³/_x, получим уравнение

x⁴– 8x^2 - 9 = 0.

Так как x^2 /= -1, то остается x^2 = 9, откуда x = 3, а y = 1. (Ограничение x– y > 1 удовлетворяется.)

Равносильность могла быть нарушена только при потенцировании; поэтому достаточно проверить, что x– y > 0, что уже сделано.

Ответ.

11.28. Прологарифмируем и обозначим log₂ x = u, log₂ (y + 1) = u:

откуда

Находим соответствующие x и y; проверка не обязательна, так как равносильность не была нарушена.

Ответ. (2, 15); (2, 3).

11.29. Так как log_a^2 x = 1/2 log_a x (обратите

внимание на то, почему мы не пишем здесь log_|a| x), а log_b y = log_b y, то систему можно переписать следующим образом:

Это — следствие первоначальной системы; если же добавить условия y > 0, b > 0, b /= 1, то получим равносильную систему.

Из первого уравнения

Подставляем во второе и находим

Условие

, т. е. 8а^3 > а⁴, приводит к дополнительному ограничению на а: а < 8.

Ответ. При 0 < а < 1, 1 < а < 8 и при b > 0, b /= 1

 

11.30. Пусть 3^{x + 1} = u, 3^{y + z–  x} = v, тогда первые два уравнения примут вид

откуда u = 9, v = 9. Следовательно, x = 1, а y + z– x = 2, т. е. y + z = 3. Последнее уравнение данной системы примет теперь простой вид

lg уz = lg 2,

следствием которого будет

уz = 2.

Решаем систему

Проверкой убеждаемся, что мы нашли решения исходной системы уравнений.

Ответ. (1, 1, 2); (1, 2, 1).

Глава 12

Тригонометрические преобразования

12.1. В первых квадратных скобках после упрощений получим ²/_{sin x}, вторые квадратные скобки заключают в себе выражение

Таким образом, первое слагаемое принимает вид

Второе слагаемое легко приводится к виду

Ответ.

12.2. Так как сумма углов 30° - и 60° - равна 90° - 2, то

tg [(30° - ) + (60° - )] = ctg 2,

или

откуда следует наше тождество.

12.3. Рассмотрим выражение

Так как ctg x = 1/2 (ctg ^x/₂–  tg ^x/₂), то