Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы
Шрифт:
sin (/2 + n) [sin (/6 + n/3) - 1/2 ] = 0.
Так как первый сомножитель никогда не обращается в нуль, то последнее равенство можно записать так:
sin (/6 + n/3) = sin /6.
Воспользовавшись условием равенства синусов (если sin = sin , то либо - = 2k, либо + = (2k + 1)), получим
/3 + n/3 = (2k + 1),
и
n/3 = 2k, откуда n = 6k.
Таким образом,
x1 = n, x2 = /6 + 2k, x3 = 5/6 + 2k.
Способ 2. Перепишем уравнение в виде
4 sin^2 x– 4 sin x sin^2 3x + sin^2 3x = 0,
т. е.
(2 sin x– sin^2 3x)^2 + (sin^2 3x– sin4 3x) = 0.
Так как оба слагаемых неотрицательны, то
Из второго уравнения получим: либо sin 3x = 0 и x = n/3, либо |sin 3x| = 1 и x = /6 + n/3. Остается отобрать из этих решений те, которые удовлетворяют первому уравнению, что делается так же, как и в первом способе решения.
Способ 3. Рассмотрим данное уравнение как квадратное относительно sin x. Тогда
Чтобы уравнение имело действительные решения, необходимо и достаточно потребовать неотрицательности дискриминанта
sin^2 3x (sin^2 3x– 1) >= 0.
Выражение в скобках не может стать положительным. Следовательно, остается лишь две возможности: либо sin^2 3x = 0, либо sin^2 3x = 1. Если sin^2 3x = 0, то, подставляя в первоначальное уравнение, получим sin^2 x = 0, т. е. x = k. Если sin^2 3x = 1, то придем к квадратному уравнению
sin^2 x– sin x + 1/4 = 0, откуда sin x = 1/2 .
Ответ. n; /6 + 2k; 5/6 + 2k.
13.41. Способ 1. Преобразовав данное уравнение к функциям от x + y/2 и x - y/2 и дополнив полученное таким образом выражение до полного квадрата, придем к уравнению вида
(2 cos x + y/2– cos x– y/2)^2 + sin^2 x– y/2 = 0.
Это
Решая второе уравнение системы, найдем
x– y/2 = n,
откуда x– y = 2n, а x = y + 2n.
Подставляя найденное выражение для x в первое уравнение, получим
2 cos (y + n) - cos n = 0.
Число n может быть либо четным, либо нечетным. Если n = 2k, то уравнение примет вид 2 cos y– 1 = 0, откуда cos y = 1/2 .
При n = 2k + 1 получим -2 cos y + 1 = 0, откуда снова cos y = 1/2 . Таким образом,
y = 2m ± /3, а x = y + 2n = 2(n + m) ± /3.
В этом случае n + m можно рассматривать как новое целочисленное переменное и записать ответ следующим образом:
Способ 2. Преобразовав уравнение к виду A cos y + В sin y = 3/2– cos x, где A = 1 - cos x, В = sin x (причем A и В не равны нулю одновременно), оценим его левую часть
Чтобы данное уравнение имело решение, необходимо, чтобы
(1 - cos x)^2 + sin^2 x >= (3/2– cos x)^2
или
cos^2 x - cos x + 1/4 <= 0, т. е. (cos x– 1/2 ) <= 0.
Так как квадрат некоторого выражения не может быть отрицательным, то cos x = 1/2 , откуда
x = 2n ± /3.
Чтобы найти y, можно подставить найденные значения x в исходное уравнение. Однако достаточно заметить, что исходное уравнение симметрично относительно x и y. Следовательно, для второго неизвестного мы тоже получим
y = 2m ± /3.
Остается установить соответствие между найденными значениями x и y, что легко сделать проверкой, так как здесь нужно рассмотреть всего четыре различные возможности. Убеждаемся, что из четырех возможностей уравнению удовлетворяют только две, когда для x и y выбраны одинаковые знаки.