Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы
Шрифт:
Ответ. Если а < 0 или а >= 2, то
где одновременно берутся либо верхние, либо нижние знаки.
13.37. Перенесем sin y и cos y в правую часть:
Возведем каждое уравнение в квадрат и сложим:
1 = 2 - 2(sin sin y + cos cos y),
т. е. cos (y– ) = 1/2 . Таким образом, y– = 2n
Система еще не решена, так как при возведении в квадрат могли быть приобретены посторонние корни. Чтобы сделать проверку, подставим x = + 2k ± /3 и y = + 2n ± /3 в данную систему:
Обратим внимание на то, что в этой записи не исключается возможность выбора произвольных комбинаций знаков плюс и минус для x и y.
Если в выражениях для x и y взять одинаковые знаки, например плюс, то получим систему
откуда следует
tg ( + /3) = tg или ctg ( + /3) = ctg ,
что неверно при всех .
Если взять разные знаки, то
sin ( + /3) + sin ( - /3) = 2 sin cos /3 = sin ,
cos ( + /3) + cos ( - /3) = 2 cos cos /3 = cos ,
т. е. каждое уравнение системы превращается в тождество.
Ответ.
где берутся или только верхние, или только нижние знаки.
Замечание. Найдя y = + 2n ± /3, можно было искать x с помощью подстановки. Однако это не избавило бы нас от необходимости делать проверку, так как в процессе решения уравнения возводились в квадрат.
13.38. Первое уравнение перепишем в виде
sin (x– y) - cos (x + y) = 2a.
Из второго найдем
cos (x + y) = cos [2 arcsin (a + 1/2 )] = 1 - 2 sin^2 [arcsin (a + 1/2 )] = 1 - 2(a + 1/2 )^2 = 1/2 - 2a^2 - 2a.
Следовательно,
sin (x– y) = 2a + cos (x + y) = 1/2 - 2a^2 = 1 - 4a^2/2.
Прежде чем решать систему
выясним, при каких а она имеет решение.
Первоначальная система накладывает на параметр а такие ограничения: |а| <= 1, | а + 1/2 | <= 1, где первое — следствие того, что в левой части первого уравнения стоит произведение синуса и косинуса, а второе — следствие определения арксинуса.
Поскольку при преобразованиях исходной системы равносильность не нарушалась, то нет необходимости учитывать первоначальные ограничения,
Итак, если параметр а лежит на интервале -3/2 <= а <= 1/2 , то систему (4) можно переписать в виде
Решая эту систему, найдем x и y. Остается сделать проверку.
Ответ. При -3/2 <= а <= 1/2
13.39. Обозначим tg^2 x = u, tg^2 y = v. Тогда в левой части уравнения получим u^2 + v^2 + 2/uv. Это выражение не может стать меньше, чем 2uv + 2/uv, так как u^2 + v^2 >= 2uv. Выражение 2uv + 2/uv тоже легко оценить:
2[uv + 1/uv] >= 4,
причем равенство в первом и во втором случаях достигается лишь при u = v = 1.
Таким образом, сумма, стоящая в левой части равенства, не может стать меньше 4, в то время как правая часть этого равенства не может превзойти 4. Остается единственная возможность: обе части равенства одновременно равны 4. Получаем систему
Второму уравнению удовлетворяют значения x = ±/4 + k, y = ±/4 + n, где знаки берутся в произвольных сочетаниях. Однако первое уравнение будет удовлетворяться только в том случае, когда в выражениях для x и y взяты одинаковые знаки.
Ответ.
13.40. Способ 1. Умножив sin^2 x на sin^2 3x + cos^2 3x = 1 и сгруппировав члены, содержащие sin^2 3x, получим
sin^2 x cos^2 3x + sin^2 3x(sin^2 x– sin x + 1/4 ) = 0,
или
sin^2 x cos^2 3x + sin^2 3x(sin x– 1/2 )^2 = 0.
Последнее уравнение эквивалентно системе
Корни первого уравнения найти нетрудно:
x1 — n, x2 = /6 + n/3.
Подставляя x1 во второе уравнение, убеждаемся, что оно удовлетворяется при этих значениях неизвестного. Подставляя во второе уравнение x2, получим