Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ваховский Евгений Борисович

Рассмотрим три случая.

1. Если cos x > 0, то перепишем данное уравнение в виде

cos^2 3x + 1/4 cos^2 x– cos x cos 3x = cos 3x cos⁴ x– cos 3x cos x,

или

(cos 3x– 1/2 cos x)^2 + cos x cos 3x (1 - cos^3 x) = 0.

В левой

части стоит сумма неотрицательных выражений, следовательно,

По предположению cos x > 0. Из первого уравнения последней системы следует, что тогда cos 3x > 0. Заметим, что

1 - cos^3 x = (1 - cos x)(1 + cos x + cos^2 x),

причем всегда 1 + cos x + cos^2 x > 0. В итоге приходим к системе

которая несовместна, так как при cos x = 1 мы получим cos 3x = 1, а не 1/2 .

2. Если cos x = 0, то cos 3x = 4 cos^3 x– 3 cos x = 0, и данное уравнение удовлетворяется. Получаем совокупность корней: x = /₂ + n.

3. Если cos x < 0, то преобразуем уравнение к виду

(cos 3x + 1/2 cos x)^2 + cos 3x cos x (-1 - cos^3 x) = 0,

в котором снова оба слагаемых неотрицательны. Аналогично случаю 1, это приводит нас к несовместной системе (закончить исследование самостоятельно).

Способ 2. Уравнение можно рассматривать как квадратное относительно cos 3x:

cos^2 3x– cos 3x cos⁴ x + 1/4 cos^2 x = 0.

Следовательно,

Условие cos⁸ x– cos^2 x = cos^2 x (cos⁶ x– 1) >= 0 является следствием данного уравнения. Если cos^2 x = 0, то x = /₂ + k; эти значения x удовлетворяют первоначальному уравнению. Если же cos^2 x = 1, то исходное уравнение примет вид

cos^2 3x– cos 3x + 1/4 = 0, т. е. cos 3x = 1/2 .

Из первого условия cos^2 x = 1 находим x = k. Так как cos 3k /= 2 , то в этом случае решений мы не получаем.

На этом примере хорошо видно, что отказ от равносильных преобразований может позволить решить задачу проще и короче.

Ответ. /₂ + n.

13.28.

Данное уравнение равносильно системе

решая которую найдем ах = k и x = 2n. Приравнивая значения неизвестного, найденные из каждого уравнения, получим

^k/_a = 2n, т. е. ^k/_a = 2n.

Это в том случае, если а /= 0. Но если а = 0, данное уравнение примет вид cos x = 1 и, следовательно, имеет бесконечное множество корней.

Итак, k = 2nа.

Если а = ^p/_q — рациональное число, то k = ^2np/_q. Это значит, что при всех n, кратных q, мы будем получать корень данного уравнения x = 2n, т. е. уравнение имеет бесконечное множество корней.

Пусть теперь а — иррациональное число. Тогда при всех n, кроме n = 0, k не будет целым, а уравнение будет иметь единственное решение x = 0.

Ответ. а — иррациональное.

13.29. Так как второе уравнение легко приводится к виду

sin (2x– y) = 0,

то y = 2x + k. После подстановки этих значений y в первое уравнение получим

4 tg Зх = 3 tg 4x, или 4 (tg 4x– tg Зх) = tg 4x.

Используя простые преобразования, приходим к равносильным уравнениям:

Выражение, стоящее в скобках, может обратиться в нуль лишь при условии, что cos x, cos 2x, cos Зх одновременно равны по абсолютной величине единице. Это означает, что непременно |cos x| = 1, т. е. корнями выражения, заключенного в скобки, могут быть лишь числа x = n, являющиеся также и корнями множителя sin x. (Обратите внимание на то обстоятельство, что здесь нельзя написать x = k, поскольку буква k уже занята в записи решения второго уравнения.)