Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ваховский Евгений Борисович

Таким образом, все решения данной системы содержатся в системе чисел x = n, y = (2n + k), которую можно переписать так: x = n, y = k. Непосредственной подстановкой в исходную систему убеждаемся, что каждая пара из системы этих значений x и y является решением.

Ответ. x = k, y = n.

13.30. Преобразовав левую часть второго уравнения

в разность косинусов, получим

cos (2y + x) = О, откуда 2y = 2 - x + kn.

Приведем теперь первое уравнение системы к виду, удобному для логарифмирования:

При подстановке в правую часть значения 2y, полученного ранее, придется рассматривать случаи k = 2p и k = 2p + 1.

Если k = 2p, то

2y = /₂– x + 2p

и sin 2y = cos x. Уравнение (1) преобразуется к виду

Если же k = 2p + 1, то

2y = /₂– x + + 2p = ³/₂– x + 2p

и sin 2y = -cos x. Уравнение (1) теперь примет вид

Поскольку значения x, при которых cos x = 0, удовлетворяют как уравнению (2), так и уравнению (3), то значениям x = (2n + 1)/₂ соответствуют все целые значения k. Поэтому

2y = /₂– x + k = - n + k = (k– n + 1).

Так как k– n + 1 принимает все целые значения для любого фиксированного k, то можно обозначить k– n + 1 = p. Получаем систему решений

Остается приравнять нулю, выражения, стоящие в скобках в уравнениях (2) и (3).

Для уравнения (2) имеем

sin x + cos 2x = 0, cos 2x = cos (x + /₂),

откуда x₂ = (4n + 1)/₂, x₃ = (4n– 1)/₆. Получаем еще две системы решений (здесь k = 2p)

Для уравнения (3)

cos 2x– sin x = 0, cos 2x = cos (/₂– x),

откуда x₄ = (4n– 1)/₂, x₅ = (4n + 1)/₆.

В этом случае k = 2p + 1, и мы находим еще две системы решений

Нетрудно заметить, что вторая и четвертая системы решений содержатся в первой.

Проверка не нужна. (Докажите.)

Ответ.

13.31. Перепишем систему в виде

Введем обозначения: sin x = u, sin y = v. Получим систему

Воспользуемся заменой v = ut:

откуда

5(t^2 - 3t) = 21 - t^2,

т. е.

2t^2 - 5t– 7 = 0, t₁ = ⁷/₂, t₂ = -1.

Если t = ⁷/₂, то из первого уравнения последней системы мы получим

u^2 = ⁴/₇; u ±²/₇; v = ut = ±²/₇ ⁷/₂ = ±7,

что невозможно, так как v = sin y.

Если же t = -1, то u^2 = 1/4 , u = ± 1/2 .

Приходим к совокупности двух систем

Ответ.

13.32. Второе уравнение можно преобразовать так:

sin y + sin (2x– y) = sin y,

т. е. sin (2x– y) = 0, откуда y = 2x + n. Подставим в первое уравнение системы

4 tg 3x = 3 tg 4x.

При условии что cos 3x /= 0 и cos 4x /= 0, это уравнение равносильно такому:

4 sin 3x cos 4x– 3 sin 4x cos 3x = 0,