Спиноза Б. Избранные произведения
Шрифт:
само по себе начинает двигаться по прямой (по т. 15). Я говорю
далее, что тело, движущееся по кругу, определяется внешней
причиной к дальнейшему движению в направлении касательной.
Оспаривая это, надо предположить, что, например, камень пращи в B
определяется не в направлении касательной BD, но в другом
направлении, которое представляется от этой точки внутри или вне
круга, например по BF, когда
L к В, или по ВС (о которой я предполагаю, что она образует с
диаметром ВН угол, равный FBH), когда предполагается обратное
движение пращи от С к В. Если же предположить, что в точке В
камень пращи, движущейся по кругу от L к В, определяется к
дальнейшему движению к F, то при дви-
2
40
женил пращи в обратном направлении от С к В камень необходимо
должен (по акс. 18) продолжать движение в направлении, противоположном линии BF, и потому будет
стремиться к K, а не к С, что противно
допущению. Но так как * кроме касательной
через точку В нельзя провести линии,
образующей с линией Н с обеих сторон
равные углы, подобно DBH и АВH, то лишь
одна касательная в состоянии не
противоречить одному и тому же
допущению, как бы ни двигалась праща, от
L к В или от С к В, и, следовательно, можно
принять лишь касательную как линию, по
которой камень стремится двигаться, что и
требовалось доказать.
Д
ругое доказательство. Возьмем вместо круга шестиугольник, вписанный в круг АВН, и пусть тело С на одной стороне АВ
находится
линейку DBE (один конец которой укреплен в
центре D, а другой подвижен), которая
движется вокруг центра и притом постоянно
пересекает линию АВ. Очевидно, что при
таком движении линейки DBE она встретит
тело С в то мгновение, когда она пересечет
линию АВ под прямым углом, и что своим
толчком она заставит тело С двигаться по
прямой линии FBAC по направлению к С, т.е.
по стороне
АВ,
продолженной в
бесконечность. Но мы взяли здесь
шестиугольник совершенно произвольно, то
же верно и для всякой иной фигуры, которую можно себе
представить вписанной в круг. Именно, если тело С, находящееся в
покое на одной стороне фигуры, получит толчок от линейки DBE в
то мгновение, когда она пересекает эту сторону под прямым углом, то тело будет приведено
__________________
*
Это очевидно из т. 18 и 19, кн. III «Элементов» Эвклида, 2
41
линейкой в движение по направлению этой стороны, продолженной
в бесконечность. Поэтому если вместо шестиугольника представим
себе прямолинейную фигуру с бесконечным числом сторон (т.е.
круг, по определению Архимеда), то очевидно, что линейка DBE, где
бы она ни встретила тело, всегда встретит его в то время, когда она
пересечет одну сторону такой фигуры под прямым углом. Поэтому
она никогда не встретит тела С, не приведя его одновременно в
движение в направлении линии, продолженной в бесконечность. Но
так как всякая сторона, продолженная по обоим направлениям, всегда должна пройти вне фигуры, то такая неопределенно
продолженная сторона фигуры с бесконечным числом сторон, т.е.
круга, будет всегда касательной. Если же представить себе вместо
линейки пращу, движущуюся в круге, то она постоянно будет
приводить камень в движение в направлении касательной, что и
требовалось доказать.
С
ледует заметить, что оба доказательства можно отнести к
любой криволинейной фигуре.
Теорема 17