Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
Величину , которая таким образом, полностью определяет намагниченность в любой точке, можно назвать Потенциалом Намагниченности. Его следует тщательно отличать от Магнитного Потенциала.
413. Про магнит, который можно разделить на сложные магнитные оболочки, говорят, что он имеет сложное ламеллярное распределение магнетизма. Условие такого распределения состоит в том, чтобы линии намагниченности допускали построение системы поверхностей, пересекающих их под прямым углом; это выражается хорошо известным уравнением
A
dC
dy
–
dB
dz
+
B
dA
dz
–
dC
dx
+
C
dB
dx
–
dA
dy
=
0.
Вид
414. Общее выражение для скалярного потенциала магнита имеет вид
V
=
A
dp
dx
+
B
dp
dy
+
C
dp
dz
dx
dy
dz
,
где p обозначает потенциал, создаваемый в точке (x,y,z) единичным магнитным полюсом, помещённым в (,,) или, другими словами, обратное расстояние между точкой (,,), в которой измеряется потенциал, и точкой (x,y,z), в которой расположен элемент магнита, создающий этот потенциал.
Это выражение можно проинтегрировать по частям, как в п. 96, 386:
V
=
p
(
Al
+
Bm
+
Cn
)
dS
–
–
p
dA
dx
+
dB
dy
+
dC
dz
dx
dy
dz
,
где l, m, n - направляющие косинусы нормали, проведённой наружу от элемента поверхности магнита dS.
В случае соленоидального магнита выражение под знаком интеграла во втором члене равно нулю для всех точек внутри магнита, так что тройной интеграл равен нулю, а скалярный потенциал в любой точке как вне, так и внутри магнита задаётся поверхностным интегралом, стоящим в первом члене.
Таким образом, скалярный потенциал соленоидального магнита полностью определён, если в каждой точке поверхности известна нормальная составляющая намагниченности, и этот потенциал не зависит от формы соленоидов внутри магнита.
415. В случае ламеллярного магнита намагниченность определяется потенциалом намагниченности , так что A=d/dx, B=d/dy, C=d/dz.
Выражение для V можно поэтому переписать в виде
V
=
d
dx
·
dp
dx
+
d
dy
·
dp
dy
+
d
dz
·
dp
dz
dx
dy
dz
.
Интегрируя
V
=
l
dp
dx
+
m
dp
dy
+
n
dp
dz
dS
–
–
d^2p
dx^2
+
d^2p
dy^2
+
d^2p
dz^2
dx
dy
dz
.
Второй член равен нулю, если точка (,,) не принадлежит магниту, в противном случае он равен 4, где - значение в точке (,,). Поверхностный интеграл можно выразить через величину r, равную длине отрезка между точками (x,y,z) и (,,), и через угол , который этот отрезок образует с внешней нормалью к элементу поверхности dS, так что потенциал можно записать в виде
V
=
1
r^2
cos
dS
+
4
,
где второй член, конечно, равен нулю, если точка (,,), не принадлежит веществу магнита.
Потенциал V, выражаемый этим уравнением, непрерывен даже на поверхности магнита, где значение скачком обращается в нуль, потому что, если записать
=
1
r^2
cos
dS
,
и обозначить через 1 значение в точке, непосредственно находящейся на поверхности, а 2– значение в точке, близкой к первой, но вне поверхности, то
2
=
1
+
4
,
или
V
2
=
V
1
.
Величина не является непрерывной на поверхности магнита.
Составляющие магнитной индукции связаны с уравнениями
a
=
–
d
dx
,
b
=
–
d
dy
,
c
=
–
d
dz
.
416. В случае ламеллярного распределения магнетизма мы можем упростить также и вектор-потенциал магнитной индукции.
Его x-составляющую можно записать:
F
=
d
dy
dp
dz
–
d
dz
dp
dy
dx
dy
dz
.
Интегрируя по частям, мы можем представить это в виде поверхностного интеграла: