Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
F
=
m
dp
dz
–
n
dp
dy
dS
,
или
F
=
–
p
m
d
dz
–
n
d
dy
dS
.
Остальные составляющие вектор-потенциала можно получить, сделав соответствующие замены в этих выражениях.
О телесных углах
417. Мы уже доказали, что потенциал, создаваемый магнитной оболочкой в произвольной точке P, равен
Определение. Телесный угол с вершиной в данной точке, опирающийся на замкнутую кривую, измеряется площадью сферической поверхности единичного радиуса с центром в данной точке, границей которой служит след пересечения сферы с радиус-вектором при его движении по замкнутой кривой. Эта площадь должна считаться положительной или отрицательной в соответствии с тем, лежит ли она по левую или по правую сторону относительно движения радиус-вектора, видимого из данной точки.
Обозначим заданную точку через (,,) а точку на замкнутой кривой через (x,y,z). Координаты x, y, z являются функциями длины кривой s, отсчитываемой от некоторой точки, причём периодическими функциями s, восстанавливающими свои значения при увеличении s на полную длину замкнутой кривой.
Мы можем вычислить телесный угол непосредственно из его определения следующим образом. Используя сферические координаты с центром в (,,) и полагая
x-
=
r
sin
cos
,
y-
=
r
sin
sin
,
z-
=
r
cos
,
найдём путём интегрирования площадь внутри произвольной кривой на сфере:
=
(1-cos )
d
,
или в прямоугольных координатах
=
d
–
s
0
z-
r{(x-)^2+(y-)^2}
(x-)
dy
ds
–
(y-)
dx
ds
ds
,
где интегрирование производится по замкнутой кривой s.
Если ось z проходит один раз сквозь замкнутую кривую, то первый член равен 2. Если же ось z не проходит сквозь неё, первый член равен нулю.
418. Этот метод вычисления телесного угла содержит произвольный до некоторой степени выбор оси и не зависит только лишь от вида замкнутой кривой. Поэтому для геометрической строгости уместно предложить следующий метод, в котором не предусматривается построение никаких поверхностей. Пусть по мере того как радиус-вектор, выходящий из данной точки, описывает замкнутую кривую, плоскость, проходящая через эту точку, катится по замкнутой кривой таким образом, что последовательно становится касательной плоскостью в каждой точке кривой. Проведём из данной точки перпендикулярно этой плоскости отрезок единичной длины. При качении плоскости по замкнутой кривой конец перпендикуляра описывает вторую замкнутую кривую, полярную по отношению к первой. Пусть её длина равна , тогда телесный угол, опирающийся на первую кривую, будет равен =2-.
Это следует из хорошо известной теоремы о том, что площадь, ограниченная замкнутой кривой на сфере единичного радиуса, вместе с периметром полярной кривой численно равны длине большой окружности сферы.
Такое построение удобно иногда для вычисления телесного угла, опирающегося на контур, составленный из отрезков прямых. Для нашей цели, которая состоит в формировании
419. Замкнутая кривая s задана в пространстве, и мы должны найти телесный угол с вершиной в точке P, опирающийся на s.
Если рассматривать телесный угол как потенциал магнитной оболочки, край которой совпадает с замкнутой кривой и мощность которой равна единице, мы должны определить этот угол как работу, совершаемую единичным магнитным полюсом против магнитной силы при его перемещении из бесконечности в точку P. Следовательно, потенциал должен быть результатом криволинейного интегрирования вдоль пути , по которому полюс приближается к точке P. Но он также должен быть результатом криволинейного интегрирования по замкнутой кривой s. Поэтому соответствующее выражение для телесного угла должно иметь вид двойного интеграла по двум кривым s и .
Когда точка P находится на бесконечном расстоянии, телесный угол, очевидно, равен нулю. По мере приближения точки P замкнутая кривая, если смотреть на неё из движущейся точки, будет казаться раскрывающейся, и можно представлять себе, что полный телесный угол образуется в результате кажущегося перемещения различных элементов замкнутой кривой по мере приближения к ней движущейся точки P.
Рис. 3
При движении точки P от P к P' вдоль элемента d элемент замкнутой кривой QQ', который мы обозначим через d, будет изменять своё положение относительно P, и линия на единичной сфере, соответствующая QQ', прочертит на сферической поверхности некоторую площадь, которую можно записать так [рис. 3]:
d
=
ds
d
.
(1)
Чтобы найти , предположим, что точка P неподвижна, а замкнутая кривая перемещается параллельно самой себе на расстояние d, равное PP', но в противоположном направлении. При этом относительное движение точки P будет таким же, как и в действительности.
Во время этого движения элемент QQ' прочертит площадь в виде параллелограмма, стороны которого параллельны и равны QQ' и PP'. Если, взяв этот параллелограмм в качестве основания, построить пирамиду с вершиной в точке P, то телесный угол этой пирамиды будет равен искомому приращению d.
Для того чтобы определить значение этого телесного угла, обозначим через и ' углы, которые образуют соответственно ds и d с PQ, через - угол между плоскостями этих углов. Тогда площадь проекции параллелограмма dsd на плоскость, перпендикулярную PQ или r, будет равна dsd sin sin ' sin , и, поскольку она равна r^2d, находим
d
=
ds
d
=
1
r^2
sin sin ' sin
dsd
.
(2)
Откуда
=
1
r^2
sin sin ' sin
dsd
.
(3)
420. Мы можем выразить углы , ' и через r и его производные по s и :
cos
=
dr
ds
,
cos '
=
dr
d
,
sin
sin '
cos
=
r
d^2r
dsd
.
(4)
Для ^2 таким образом, находим следующее выражение: