Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
p
ab
=
– d
– 1
m,
p
BB
=
D
– 1
L,
p
bb
=
d
– 1
l.
Значения этих коэффициентов существенно не изменятся от присутствия другого конденсатора на расстоянии R.
Коэффициент потенциала для любых двух проводников, находящихся на расстоянии R равен R– 1,
Таким образом, уравнения для потенциала имеют вид
V
A
=
D
– 1
Ne
A
–
D
– 1
Me
B
+
R
– 1
e
a
+
R
– 1
e
b
,
V
B
=
– D
– 1
Me
A
–
D
– 1
Le
B
+
R
– 1
e
a
+
R
– 1
e
b
,
V
a
=
R
– 1
e
A
+
R
– 1
e
B
+
d
– 1
ne
a
–
d
– 1
me
b
,
V
b
=
R
– 1
e
A
+
R
– 1
e
B
–
d
– 1
me
a
+
d
– 1
le
b
.
Решая эти уравнения относительно зарядов, получим
q
AA
=
L'
=
L
+
(L+M)^2(l+2m+n)
R^2-(L+2M+N)(l+2m+n)
,
q
AB
=
M'
=
M
(L+M)(M+N)(l+2m+n)
R^2-(L+2M+N)(l+2m+n)
,
q
Aa
=-
R(L+M)(l+m)
R^2-(L+2M+N)(l+2m+n)
,
q
Ab
=-
R(L+M)(m+n)
R^2-(L+2M+N)(l+2m+n)
,
где L', M', N' - значения L, M, N' при внесении второго конденсатора в поле.
Если в поле вносится лишь один проводник a,
q
AA
=
L'
=
L
+
(L+M)^2l
R^2-l(L+2M+N)
,
q
AB
=
M'
=
M
(L+M)(M+N)l
R^2-l(L+2M+N)
,
q
Aa
=-
Rl(L+M)
R^2-l(L+2M+N)
.
Если имеется просто два проводника A и a, то M=N=m=n=0, и
q
AA
=
L
+
L^2l
R^2-Ll
,
q
Aa
=-
RLl
R^2-Ll
,
что согласуется с выражениями, найденными в п. 90 а.
Величина L+2M+N даёт полный заряд конденсатора при единичном потенциале на электродах. Она не может превосходить половины наибольшего размера конденсатора.
L+M - заряд первого электрода, a M+N - заряд второго при единичном потенциале на обоих электродах. Обе эти величины должны быть положительны и меньше ёмкости самого электрода. Поэтому поправки в коэффициентах ёмкости конденсатора значительно меньше, чем для простого проводника той же ёмкости.
Приближения такого рода часто полезны при оценке ёмкости проводников неправильной формы, находящихся на значительном расстоянии от остальных проводников.
91. Если в поле вносится округлый проводник A3, размеры которого малы по сравнению с расстоянием между проводниками, то коэффициент потенциала A1 относительно A2 увеличивается, если A3 находится внутри сферы, построенной на прямой A1A2 как на диаметре, и уменьшается, если A3 вне этой сферы.
Действительно, единичный положительный заряд на A1 создаёт распределение электричества на A3, при котором +e находится на стороне, наиболее удалённой от A1 а -e - на стороне, ближайшей к A1. Потенциал на A2, создаваемый этим распределением электричества на A3, будет положительным или отрицательным в зависимости от того, какой из зарядов, +e или -e, ближе к A2, и если тело A3 не очень вытянуто, то это зависит от того, будет ли угол A1A2A3 тупым или острым, т. е. находится ли точка A3 внутри или вне сферы, построенной на A1A2 как на диаметре.
Для продолговатого тела A3 легко видеть, что если его наибольшая ось расположена по касательной к окружности, проходящей через точки A1, A3 и A2, то оно может повысить потенциал A2, даже находясь полностью вне сферы, и, наоборот, если его наибольшая ось направлена по радиусу этой окружности, то оно может уменьшить потенциал A2, даже находясь полностью внутри сферы. Эти соображения служат лишь для грубой оценки ожидаемых явлений при заданной конфигурации прибора.